[논문 리뷰] Off-shell Partition Functions in 3d Gravity

Lorenz Eberhardt|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 20.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기하적 양자화와 동치 코homology를 사용하여 $\Sigma \times S^1$ 형태의 다양체에서 3차원 카이랄 중력의 비고전적 분할 함수를 계산하는 방법을 개발한다. 비진동 항인 분할 함수의 '가짜 분할 함수'에 대한 위상적 재귀를 수립하고, 국소화를 통해 저유전도에서 정확한 결과를 제공함으로써, 동치 국소화 기반의 새로운 길을 제시하여 JT 중력의 분할 함수를 도출한다.

ABSTRACT

We explore three-dimensional gravity with negative cosmological constant via canonical quantization. We focus on chiral gravity which is related to a single copy of $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ Chern-Simons theory and is simpler to treat in canonical quantization. Its phase space for an initial value surface $Σ$ is given by the appropriate moduli space of Riemann surfaces. We use geometric quantization to compute partition functions of chiral gravity on three-manifolds of the form $Σ imes \mathrm{S}^1$, where $Σ$ can have asymptotic boundaries. Most of these topologies do not admit a classical solution and are thus not amenable to a direct semiclassical path integral computation. We use an index theorem that expresses the partition function as an integral of characteristic classes over phase space. In the presence of $n$ asymptotic boundaries, we use techniques from equivariant cohomology to localize the integral to a finite-dimensional integral over $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$, which we evaluate in low genus cases. Higher genus partition functions quickly become complicated since they depend in an oscillatory way on Newton's constant. There is a precise sense in which one can isolate the non-oscillatory part which we call the fake partition function. We establish that there is a topological recursion that computes the fake partition functions for arbitrary Riemann surfaces $Σ$. There is a scaling limit in which the model reduces to JT gravity and our methods give a novel way to compute JT partition functions via equivariant localization.

연구 동기 및 목표

• 고전적 해를 갖지 않는 위상에 대해 중력 경로 적분을 계산하는 것, 즉 3차원 중력에서의 비고전적 분할 함수를 계산하는 것.
• 경계가 있는 $\chi(\Sigma) \times S^1$ 다양체를 기반으로 카이랄 중력에 대한 캐논ical 양자화 프레임워크를 개발하는 것.
• 기하학적 및 동치 코homological 기법을 사용하여 분할 함수의 비진동 항을 분리하고 계산하는 것—이를 '가짜 분할 함수'라 칭함.
• 임의의 종수의 리만 곡면 $\Sigma$에 대해 가짜 분할 함수를 계산하는 위상적 재귀를 수립하는 것.
• 스케일링 근사에서 JT 중력 분할 함수를 복원하고, 이를 계산하기 위한 새로운 국소화 기반 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 카이랄 중력의 캐논ical 양자화를 사용하여, 이는 단일 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 초전도체 이론으로 축소되며, 위상공간을 리만 곡면의 모듈리 공간으로 정의한다.
• 기하적 양자화를 적용하여, $\Sigma$와 관련된 힐베르트 공간의 추적으로 분할 함수를 계산한다. 이는 $\Sigma \times S^1$에서 고전적 해가 존재하지 않을 경우에도 가능하다.
• 지수 정리를 사용하여 분할 함수를 위상공간 위의 특성류 적분으로 표현함으로써 정확한 계산이 가능하도록 한다.
• 동치 코homology를 사용하여 적분을 컴actified 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 위의 유한차원 적분으로 국소화하며, 특히 저유전도에서 유용하다.
• 비진동 항인 '가짜 분할 함수'를 스케일링 근사를 통해 분리하고, 위상적 재귀를 통해 계산한다.
• 임의의 종수 $g$와 $n$개의 경계를 가진 $\Sigma$에 대해 가짜 분할 함수를 계산하는 위상적 재귀 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스pacetime 다양체 $\Sigma \times S^1$에서 고전적 해가 존재하지 않을 경우, 3차원 중력에서 비고전적 분할 함수를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 3차원 카이랄 중력에서 분할 함수의 비진동 항의 정확한 수학적 구조는 무엇이며, 어떻게 분리할 수 있는가?
• RQ3 임의의 리만 곡면 $\Sigma$에 대해 가짜 분할 함수를 계산하는 위상적 재귀를 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 어떤 스케일링 근사에서 기존의 JT 중력 결과를 어떻게 복원하는가?
• RQ5 동치 코homology와 특성류는 분할 함수 적분을 유한차원 공간으로 국소화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 가짜 분할 함수는 분할 함수의 비진동 항으로서, 뉴턴 상수에 의해 진동적으로 의존하는 전체 분할 함수에서 분리된다.
• 임의의 종수 $g$와 $n$-경계 리만 곡면 $\Sigma$에 대해 가짜 분할 함수를 계산하는 위상적 재귀가 수립되었으며, 기존 결과를 일반화한다.
• 저유전도에서 가짜 분할 함수는 국소화를 통해 정확히 계산되며, $g=2$ 및 $n=1$에 대해 $\mathscr{L}^k$의 절단의 힐베르트 급수를 사용하여 명시적인 표현이 유도된다.
• 컴 pactified 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_2$ 위에서 $\mathscr{L}^k$의 정칙 절단 공간의 힐베르트 급수는 $\frac{1}{1-t}\left(\frac{1}{(1-t^2)(1-t^3)(1-t^5)} - \frac{t}{(1-t^4)(1-t^6)(1-t^{12})}\right)$로 계산된다.
• 카이랄 중력의 스케일링 근사는 JT 중력로 감소하며, 이 방법은 JT 분할 함수의 새로운 국소화 기반 계산을 제공한다.
• 분할 함수의 절단의 환은 $\alpha = A$, $\beta = B$, $\gamma = AB - 3C$, $\delta = D$로 생성되며, 제약 조건은 $k = m + 2n + 3p + 5q$ 및 $m \leq 2n + 3p + 7q$이다.