[논문 리뷰] Old and new about treeability and the Haagerup property for measured groupoids

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 30.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가산 측도 군oids에 대한 Haagerup 성질과 그에 대응하는 von Neumann 대수의 상대 Haagerup 성질 사이의 동치성을 확립하며, 나무꼴 성질이 군oids 수준에서 직접적으로 Haagerup 성질을 유도함을 증명한다. Jolissaint의 등차관계에 대한 연구를 확장하고, 군oids의 구조, 연산자 대수학, 그리고 애매성과 Kazhdan의 성질 (T) 등의 기하학적 성질을 연결하는 통합적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

This is mainly an expository text on the Haagerup property for countable groupoids equipped with a quasi-invariant measure, aiming to complete an article of Jolissaint devoted to the study of this property for probability measure preserving countable equivalence relations. We show that our definition is equivalent to the one given by Ueda in terms of the associated inclusion of von Neumann algebras. It makes obvious the fact that treeability implies the Haagerup property for such groupoids. For the sake of completeness, we also describe, or recall, the connections with amenability and Kazhdan property (T).

연구 동기 및 목표

• 확률 측도를 보존하는 등차관계에 대한 Jolissaint의 Haagerup 성질 연구를 일반적인 가산 측도 군oids로 확장하기 위해.
• von Neumann 대수학적 정의를 상대 Haagerup 성질을 통한 기반으로 삼아, 군oids 수준에서의 내재적 정의를 수립하고, 이와 동치임을 증명하기 위해.
• 연산자 대수학 기법에 의존하지 않고 군oids 프레임워크 내에서 직접적으로 나무꼴 성질이 Haagerup 성질을 유도함을 보이기 위해.
• 측도 군oids의 맥락에서 Haagerup 성질, 애매성, Kazhdan의 성질 (T) 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 강한 상대 애매성과 Popa의 프레임워크를 사용하여, 애매한 측도 군oids가 Haagerup 성질을 만족함을 증명함으로써 문헌의 빈자리 메우기 위해.

제안 방법

• 가산 측도 군oids와 측도 불변 측도의 개념을 도입하고 형식화하며, 포함관계 $ L^∞(X,\mu) \subset L(G,\mu) $ 를 통한 von Neumann 대수학적 구조를 강조한다.
• 군oids의 von Neumann 대수학에 대해 Tomita-Takesaki 이론을 적용하고, Hahn의 결과를 측도 군oids 맥락으로 일반화한다.
• 일반적인 포함관계 $ A \subset M $ 와 특히 $ L^\infty(X,\mu) \subset L(G,\mu) $ 에 대해 Jones의 기본 구성법을 분석하고, 조건부 기대를 사용한다.
• 군oids 위의 정규 함수와 von Neumann 대수학 위의 완전히 양의 정의된 사상 사이의 대응관계를 수립하고, 군의 결과를 일반화한다.
• 나무꼴 성질을 군oids 수준에서 섬세한 할당을 통한 나무형 구조의 피복에 대해 정의하고, 그래프 번들의 구성법을 통해 정규 함수를 구성한다.
• G-불변의 측도 가능 힐버트 공간의 필드와 등거리 표현의 존재를 이용하여 거의 불변 벡터의 넷을 구성하고, Haagerup 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 측도 군oids에 대한 Haagerup 성질은 연산자 대수학적 서술에 의존하지 않고 어떻게 내재적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 측도 군oids의 나무꼴 성질이 충분히 Haagerup 성질을 유도하는가? 그리고 이는 군oids 수준에서 직접적으로 증명될 수 있는가?
• RQ3 측도 군oids의 맥락에서 애매성과 Haagerup 성질 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 에르고딕 측도 군oids의 맥락에서 Haagerup 성질은 Kazhdan의 성질 (T) 와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 von Neumann 대수학 $ L(G,\mu) $ 가 $ L^\infty(X,\mu) $ 에 대해 상대 Haagerup 성질을 가지는 것은 군oids의 구조적 측면에서 순수하게 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 가산 측도 군oids $ (G,\mu) $ 에 대한 Haagerup 성질은 von Neumann 대수학 $ L(G,\mu) $ 가 $ L^\infty(X,\mu) $ 에 대해 상대 Haagerup 성질을 가지는 것과 동치이며, 이는 연산자 대수학적 정의에 의해 정의된다.
• 측도 군oids의 나무꼴 성질은 Haagerup 성질을 유도하며, 이는 연산자 대수학을 거치지 않고 측도 가능 그래프 번들의 구성법을 통해 군oids 수준에서 직접적으로 증명된다.
• 측도 군oids의 애매성은 Haagerup 성질을 유도하지만, 이는 표준적인 상대 애매성으로부터 즉각적으로 유도되지 않는다. 대신 Popa의 강한 상대 애매성 개념이 필요하다.
• 에르고딕성 조건 하에서 Haagerup 성질과 Kazhdan의 성질 (T) 는 상호 배타적이며, 이는 Jolissaint의 군 작용에 대한 결과를 일반화한 것이다.
• 논문은 측도 가능 힐버트 공간의 필드와 G-불변의 정규 함수의 존재를 통해 Haagerup 성질을 완전히 기술함으로써 기하학과 연산자 대수학을 연결한다.
• 이 프레임워크는 군oids에 관련된 von Neumann 대수학의 상대 성질 연구에서 Jones의 기본 구성법과 조건부 기대의 역할을 명확히 한다.