[논문 리뷰] Old and new algorithms for pi

Richard P. Brent|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 12.

History and Theory of Mathematics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 π를 계산하기 위한 Brent-Salamin 알고리즘에 대한 Prof. Adlaj의 비판에서 오해를 바로잡으며, 고전적 수학자들인 가우스와 레지옹드가 기초를 다졌다고는 하지만, 이 알고리즘의 효율성은 현대 계산 기술에 의존하고 있음을 주장한다. 이는 전자 계산기 이전 시대의 수학자들인Euler, Legendre, 가우스가 빠른 곱셈과 전자 계산이 없이선 이러한 알고리즘을 실용적으로나마 가치 있게 여길 수 없었음을 시사하며, 산술기하평균을 통해 π 외에도 모든 초등함수를 비슷한 효율로 계산할 수 있음을 강조한다.

ABSTRACT

This is a letter to the editor concerning Semjon Adlaj's article "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", AMS Notices 59, 8 (2012), 1094-1099.

연구 동기 및 목표

• Brent-Salamin 알고리즘의 역사적 귀속을 명확히 하고, 가우스와 오일러 이름을 붙이는 것에 대한 오해를 바로잡는다.
• 이 알고리즘이 본질적인 수학적 우월성보다는 현대 계산 기술에 의존한다는 점을 주장한다.
• 전자 계산기 이전의 시대에 살던 가우스, 레지옹드, 오일러와 같은 수학자들이 빠른 곱셈 알고리즘과 전자 계산이 없이선 이러한 알고리즘을 실용적이라고 여길 수 없었음을 시사한다.
• 산술기하평균이 π 외에도 모든 초등함수를 비슷한 속도로 계산할 수 있음을 보여주며, π 계산 외의 다른 상수 계산과의 효율성을 비교한다.
• π를 단일 상수로 계산하는 것이 의미 있는 계산 목표이거나 역사적으로 관련성이 있다는 개념을 도전한다.

제안 방법

• 1809년 5월 가우스의 비공식 노트를 포함한 역사적 자료를 분석하여, 가우스가 자신의 항등식을 π를 계산하기 위한 알고리즘으로 간주했는지 평가한다.
• 아크탄젠트 급수와 이진 분할을 사용하는 고전적 Machin 유사 공식과 Brent-Salamin 알고리즘의 계산 효율성을 비교한다.
• 현대 계산 가능성의 기준으로서 빠른 곱셈 알고리즘인 Schönhage-Strassen 알고리즘을 사용한다.
• 산술기하평균(AGM) 이론을 적용하여, π, e^π, π/e 등 모든 초등함수도 동일한 속도로 계산할 수 있음을 보여준다.
• Google 검색 빈도를 활용하여 'Gauss-Legendre'와 'Gauss-Euler' 등의 용어가 잘못된 명칭으로 사용되는지 여부를 평가한다.
• 19세기 수학의 계산적 맥락과 현대 알고리즘 효율성 간의 대비를 통해 기술적 의존성을 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우스와 오일러의 기초적 기여에도 불구하고, 왜 Brent-Salamin 알고리즘을 그들의 이름으로 부르는 것은 역사적으로 정확하지 않은가?
• RQ2 빠른 곱셈 알고리즘이 없었기 때문에 초기 π 계산 방법의 실용성은 어떻게 영향을 받았는가?
• RQ3 가우스의 1809년 노트 항목은 Brent-Salamin 알고리즘 개발에 어떤 역할을 했으며, 가우스는 이를 어떻게 해석했는가?
• RQ4 역사적 맥락을 고려할 때, 왜 오일러, 레지옹드, 가우스는 Brent-Salamin 알고리즘을 특별시하지 않았을까?
• RQ5 산술기하평균을 이용해 π 외의 모든 초등함수를 π만큼의 효율로 계산할 수 있으며, 이는 π 계산의 중요성에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• Brent-Salamin 알고리즘은 Schönhage-Strassen 같은 현대 빠른 곱셈 알고리즘이 없이선 π를 계산하는 데 실용적이지 않다.
• 이진 분할과 빠른 곱셈을 결합한 아크탄젠트 급수를 사용하는 Machin 유사 공식은 Brent-Salamin 알고리즘과 경쟁 가능하다.
• 가우스의 1809년 노트 항목은 π가 분모에만 나타나는 탓에, 주로 타원적분과 관련된 항등식을 나타내며, π를 계산하기 위한 알고리즘이 아니었다.
• 'Gauss-Legendre'는 주로 적분 구하기에 사용되며, π 알고리즘과는 관련이 없고, 'Gauss-Euler'는 이 맥락에서 거의 관련이 없다.
• 산술기하평균을 통해 π, e^π, π/e 등 모든 초등함수를 동일한 점근적 효율성으로 계산할 수 있으며, 상수 배수 이내의 차이로만 영향을 받는다.
• π를 단일 상수로 계산하는 데 초점을 맞추는 것은 오히려 잘못된 것으로 평가되며, 동일한 계산 능력으로 더 넓은 범위의 상수를 계산할 수 있다.