[논문 리뷰] Old and new approaches to the Sorites paradox

Bruno Dinis|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 03.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비표준 해석을 사용하여 소리테스 역설에 대한 새로운 해결책을 제안한다. '더미'와 같은 흐릿한 술어를 외부 수와 중립집합을 통해 모델링하여, 작은 변화에 대한 내성성과 큰 척도의 차이가 나타나는 것을 엄밀하게 포착한다. 주요 기여는 표준 수가 비더미를, 비표준(무한대) 수가 더미를 나타내는 형식적 프레임워크를 제공함으로써, 날카로운 경계 없이 크기의 순서를 구분함으로써 역설을 해결하는 것이다.

ABSTRACT

The Sorites paradox is the name of a class of paradoxes that arise when vague predicates are considered. Vague predicates lack sharp boundaries in extension and is therefore not clear exactly when such predicates apply. Several approaches to this class of paradoxes have been made since its first formulation by Eubulides of Miletus in the IV century BCE. In this paper I survey some of these approaches and point out some of the criticism that these approaches have received. A new approach that uses tools from nonstandard analysis to model the paradox is proposed.

연구 동기 및 목표

• 흐린 술어가 날카로운 경계를 갖지 않아 발생하는 오랫동안 남아 있는 소리테스 역설 문제를 해결하기 위해.
• 지식론적 해법, 정도 이론, 퍼지 논리와 같은 기존 접근법이 내성성과 모호성 모델링에 실패한 점을 비판하기 위해.
• 작은 변화가 진리값에 영향을 주지 않지만 누적 변화는 영향을 준다는 직관을 엄밀히 포착하는 비표준 해석을 활용한 새로운 형식적 프레임워크를 제안하기 위해.
• 정확한 집합이 아니라 외부 집합으로서 경계가 명확하지 않은 '더미'나 '키가 큰'과 같은 흐린 개념을 중립집합과 외부 수를 사용하여 모델링하기 위해.
• 비표준 해석의 맥락에서 표준(유한, 나이브) 수와 비표준(무한대) 수를 구분함으로써 소리테스 추론의 맥락에서 역설이 사라지는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 비표준 해석을 사용하여 무한소와 외부 수를 통해 '작은 변화'와 '큰 변화'를 정의함. 큰 변화는 많은 작은 변화의 누적 결과로 발생한다.
• 흐린 술어인 '더미가 아니다'를 외부 술어로 모델링하며, 곡물 수가 표준 수인지 비표준 수인지에 따라 진리값이 결정된다.
• 최소상한값이나 최대상한값이 없는 외부 집합인 '중립집합'의 개념을 적용하여 정밀한 경계에 의존하지 않는 모호한 양을 표현한다.
• 나이브(표준) 자연수와 비표준 수 사이의 구분을 도입하며, Reeb의 슬로건 'Les entiers naïfs ne remplissent pas N'을 사용하여 이 구분을 정당화한다.
• 표준 귀납법과 소리테스 역설의 조건형을 비표준 형태로 변형하여, 모드 폈논을 유한(표준) 수의 단계에 국한함으로써 역설적 결론을 방지한다.
• 외부 수의 강력한 대수 법칙을 활용하여 정확한 수학적 엄밀성을 유지하면서도 직접적으로 모호성을 모델링함으로써 진리값의 수치적 정도가 필요로 하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진리값의 변화가 없지만 누적 변화는 영향을 주는 작은 변화에 대한 내성성은, 진리값의 정도나 날카로운 경계에 의존하지 않고 어떻게 엄밀하게 포착할 수 있는가?
• RQ2 작은 변화가 진리값에 영향을 주지 않는 것처럼 보이지만 결론이 명백히 잘못된데도 표준 논리에서 소리테스 역설이 발생하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 비표준 해석이 표준(비더미)과 비표준(더미) 크기를 구분할 수 있는 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 제공할 수 있는가?
• RQ4 외부 수와 중립집합은 정확한 임계값을 가정하지 않고 '더미'나 '키가 큰'과 같은 흐린 개념을 어떻게 모델링하는가?
• RQ5 비표준 논리 프레임워크 내에서 귀납법과 조건형을 재해석함으로써 소리테스 역설을 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 비표준 수를 사용하여 소리테스 시리즈를 모델링할 경우 역설이 사라진다: 표준 수의 곡물 수(예: 백만)는 더미를 형성하기에 부족하지만, 비표준 수(ω ≈ +∞)는 충분하다.
• 외부 술어인 '더미가 아니다'는 표준 수 위에서 정의되며, 더미로의 전환은 오직 비표준 크기에서만 발생하므로 임의의 경계 설정을 피한다.
• 각각은 무시할 수 있을 정도로 작은 변화들이지만, 무한히 많은 단계에 걸쳐 합산되면 큰, 명백한 차이가 발생할 수 있으며, 이는 비표준 해석에서 자연스러운 결과이다.
• 유일한 수치적 진리값을 할당하지 않기 때문에 정도 이론의 부자연스러움을 피하며, 최소상한값이나 최대상한값이 없는 집합을 통해 모호성을 모델링한다.
• 흐린 용어의 직관적 내성성을 유지한다: 시리즈의 인접한 용어들은 구별할 수 없지만, 전체적인 구조는 유한과 무한 크기 사이의 구분을 한다.
• 표준 수는 두 배로 만드는 데 대해 닫혀 있다(st(n) → st(2n))는 원칙을 유지하지만, st(n) ∧ ¬st(2n)가 성립할 수 있는 맥락도 허용함으로써 일부 대수적 성질의 손실을 감수하면서도 유연성을 유지한다.