[논문 리뷰] On 2d TQFTs whose values are holomorphic symplectic varieties

Gregory W. Moore, Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 41인용 수 21

한 줄 요약

논문은 2차원 경계를 가진 다양체에서 힐버트 공간의 해밀토니안 G_ℂ-작용을 갖는 복소 해밀토니안 기하학적 다양체로 가는 2차원 위상적 양자장 이론(TQFT) 함자 η_{G_ℂ}를 제안한다. 여기서 경계의 부착은 복소 해밀토니안 기하학적 몫공간에 대응한다. 주요 기여는 6차원 N=(2,0) 이론과 구멍이 있는 리만 곡면 위의 클래스 S 이론을 통해 복소 해밀토니안 기하학과 연결되는, 물리적 동기를 가진 추측적 TQFT 구성이다.

ABSTRACT

For simple and simply-connected complex algebraic group G, we conjecture the existence of a functor eta_G from the category of 2-bordisms to the category of holomorphic symplectic varieties with Hamiltonian action, such that gluing of boundaries corresponds to the holomorphic symplectic quotient with respect to the diagonal action of G. We describe various properties of eta_G obtained via string-theoretic analysis. Mathematicians are urged to construct eta_G rigorously.

연구 동기 및 목표

• 2차원 TQFT 함자 η_{G_ℂ}가 2차원 경계를 가진 다양체에서 해밀토니안 G_ℂ-작용을 갖는 복소 해밀토니안 다양체로 가는 존재성을 추측하는 것.
• TQFT에서 경계의 부착이 대각선 G_ℂ-작용 하에서 복소 해밀토니안 몫공간에 대응함을 확립하는 것.
• 구멍이 있는 리만 곡면 위의 클래스 S 이론의 최대 차원 힉스 브랜치를 TQFT로서의 정확한 수학적 표현을 제공하는 것.
• 수학자들이 필요한 복소 해밀토니안 다양체를 엄밀히 구성하고 인수성 및 대칭성 성질을 검증하도록 동기를 부여하는 것.

제안 방법

• 6차원 N=(2,0) 이론을 구멍이 있는 리만 곡면에 위상적으로 압축하고, 고차원 결함을 포함한 스트링 이론적 분석을 사용하는 것.
• 표면 C의 등각 기하학적 성질에만 의존하는 부분적으로 위상적 스위치와 칼루차-클라인 축소를 통한 4차원 N=2 이론 S_G(C,D)의 구성.
• S_G(C,D)의 최대 차원 힉스 브랜치를 해밀토니안 G_ℂ-작용에 대해 불변인 복소 해밀토니안 다양체로 식별하는 것.
• 부모 6차원 이론으로부터 유도된 인수성 성질을 통해 TQFT를 구성하며, 경계 부착은 기하학적 몫공간에 대응하는 것.
• 메트릭의 스케일링이 몫공간에 영향을 주는, 약간 다른 목표 범주로서 하이퍼카일러 기하학을 사용하는 것.
• G의 자동사상군의 작용에 대한 등변 확장과 함께, 라그랑주 부분다양체와 도메인 월을 포함하는 확장된 TQFT의 구조 제안.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계의 부착이 대각선 G_ℂ-작용 하에서 복소 해밀토니안 몫공간에 대응하는, 해밀토니안 G_ℂ-작용을 갖는 복소 해밀토니안 다양체를 2차원 다양체에 할당하는 2차원 TQFT가 존재하는가?
• RQ2 구멍이 있는 리만 곡면 위의 클래스 S 이론의 최대 차원 힉스 브랜치를 복소 해밀토니안 다양체의 범주에서 엄밀한 TQFT로 표현할 수 있는가?
• RQ3 6차원 N=(2,0) 이론의 인수성 성질이 힉스 브랜치 위의 2차원 TQFT에 어떻게 유도되는가?
• RQ4 TQFT를 하이퍼카일러 기하학으로 확장할 때 면적 매개변수 a의 정확한 역할은 무엇이며, a→0 극한에서 대칭성이 어떻게 복원되는가?
• RQ5 TQFT는 라그랑주 부분다양체와 도메인 월을 포함하는 0-1-2-3 차원 TQFT로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 구멍이 있는 리만 곡면 C 위에서 정의된 이론 S_G(C,D)의 최대 차원 힉스 브랜치는 부모 6차원 이론으로부터 기인한 인수성 성질을 갖는 복소 해밀토니안 다양체이다.
• 동일한 ρ-준동형을 갖는 구멍을 가진 두 표면의 경계를 부착하는 것은 대각선 G_ℂ-작용 하에서 복소 해밀토니안 몫공간에 대응한다.
• TQFT 함자 η_{G_ℂ}는 2-경계를 복소 해밀토니안 다양체로 매핑하는 것으로 추측되며, 합성은 해밀토니안 축소에 의해 주어진다.
• A_1의 경우, 임의의 a에 대해 η_{A_1}(W,a)는 복소 해밀토니안 다양체로서 ℂ²⊗ℂ²⊗ℂ² 와 동치이며, a→0 극한에서 평탄한 하이퍼카일러 메트릭을 갖는다.
• T^*G_ℂ^a × T^*G_ℂ^{a'}//G 는 T^*G_ℂ^{a+a'} 와 동형이므로, 메트릭 스케일링이 몫공간의 구조에 영향을 준다는 것을 보여준다.
• TQFT의 구조는 라그랑주 부분다양체와 도메인 월을 포함하는 3-category적 확장된 TQFT로 자연스럽게 확장될 수 있다.