[논문 리뷰] On 321-avoiding permutations in affine Weyl groups

R. M. Green|ArXiv.org|2001. 12. 12.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 11인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 아핀 웨일 군 $\tilde{A}_{n-1}$에서 321-피回避하는 순열이 완전히 교환 가능한 원소들—즉, 단순 브레인드 관계로 연결된 최소 표현을 가진 원소들—과 정확히 일치함을 증명한다. 또한 이러한 원소들이 카즈단–류스트리그 두쪽 세포의 합집합을 이룬다는 것을 보이며, 이는 관련 히크 대수의 카즈단–류스트리그 기저에서 특정 구조 상수의 조합론적 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of 321-avoiding permutations in the affine Weyl group $W$ of type $A_{n-1}$ by considering the group as a George group (in the sense of Eriksson and Eriksson). This enables us to generalize a result of Billey, Jockusch and Stanley to show that the 321-avoiding permutations in $W$ coincide with the set of fully commutative elements; in other words, any two reduced expressions for a 321-avoiding element of $W$ (considered as a Coxeter group) may be obtained from each other by repeated applications of short braid relations. Using Shi's characterization of the Kazhdan--Lusztig cells in the group $W$, we use our main result to show that the fully commutative elements of $W$ form a union of Kazhdan--Lusztig cells. This phenomenon has been studied by the author and J. Losonczy for finite Coxeter groups, and is interesting partly because it allows certain structure constants for the Kazhdan--Lusztig basis of the associated Hecke algebra to be computed combinatorially. We also show how some of our results can be generalized to a larger group of permutations, the extended affine Weyl group associated to $GL_n({\Bbb C})$.

연구 동기 및 목표

• 아핀 웨일 군 $\tilde{A}_{n-1}$에서 321-피回避하는 순열을 순열 표현을 통해 정의하고 특성화하기.
• 이 군에서 321-피回避하는 순열과 완전히 교환 가능한 원소들 사이의 동치성을 확립하기.
• 완전히 교환 가능한 원소들의 집합이 두쪽 세포의 합집합을 이룬다는 것을 보여주기.
• 이 결과를 적용하여 카즈단–류스트리그 기저의 일부 구조 상수를 다룰 수 있는 다루기 쉬운 조합론 문제로 환원하기.
• GL_n(\bbC)와 관련된 확장된 아핀 웨일 군으로 이 틀을 일반화하기.

제안 방법

• 루스티그의 실현을 통해 아핀 웨일 군 $W(\tilde{A}_{n-1})$를 $\bbZ$ 위의 순열 군으로 실현하여, 주기성 조건 $w(i+n) = w(i)+n$과 합 불변성 $\sum_{t=1}^n w(t) = \sum_{t=1}^n t$을 만족시킨다.
• 생성자 $s_i$의 작용을 $n$을 모듈로로 한 잔여류에 기반해 값이 이동하는 특정 순열로 정의한다.
• 확장된 아핀 웨일 군 $\tilde{W}$를 아핀 웨일 군과 $\rho^n = 1$을 만족하는 이동 연산자 $\rho$를 포함하는 순열 군으로 정의한다.
• 시의 조합론적 기준을 이용하여 아핀 타입 $\tilde{A}_{n-1}$에서의 카즈단–류스트리그 세포의 구조를 분석한다.
• 그린과 로소니치의 결과를 응용하여 완전히 교환 가능한 원소들이 $\geq_{LR}$ 순서에 대해 닫혀 있음을 보이고, $w$가 완전히 교환 가능하지 않은 경우 $C'_w$의 ${\bbZ}[v,v^{-1}]$-스팬이 히크 대수에서 양쪽 아이디얼을 이룬다는 것을 증명한다.
• 완전히 교환 가능한 원소들에 의해 인덱싱된 정규 기저를 가진 몫 히크 대수를 구성하여, $z$가 완전히 교환 가능할 경우에 구조 상수 $g_{x,y,z}$의 조합론적 계산이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아핀 웨일 군 $\tilde{A}_{n-1}$에서 321-피回避하는 순열이 완전히 교환 가능한 원소들과 일치하는가?
• RQ2 완전히 교환 가능한 원소들의 집합이 $W(\tilde{A}_{n-1})$에서 두쪽 세포의 합집합을 이룰 수 있는가?
• RQ3 완전히 교환 가능한 원소들만 포함하는 곱이 있는 경우, 카즈단–류스트리그 기저의 구조 상수를 얼마나까지 조합론적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 이 논문의 결과를 $GL_n(\bbC)$와 관련된 확장된 아핀 웨일 군으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 아핀 타입 $A$, $B$, $C$, $D$에 대해 통일된 방식으로 확장된 조지 군을 정의할 수 있는가? 이는 타입 $A$에서 $\tilde{W}$로 특수화된다.

주요 결과

• 아핀 웨일 군 $W(\tilde{A}_{n-1})$에서 321-피回避하는 순열은 정확히 완전히 교환 가능한 원소들이다. 즉, 이러한 원소의 임의의 두 최소 표현은 짧은 브레인드 관계로 연결된다.
• 완전히 교환 가능한 원소들의 집합은 시의 세포 분류와 루트 계통 분석을 통해 두쪽 세포의 합집합을 이룬다.
• 완전히 교환 가능한 원소들에 포함된 서로 다른 두쪽 세포의 수는 $n$이 홀수일 경우 $(n+1)/2$, 짝수일 경우 $(n+2)/2$이다.
• 이 세포들의 완전한 대표원 집합은 $0 \to k \to \floor{n/2}$에 대해 $s_2 s_4 \cdots s_{2k}$로 주어지며, 이는 최대 크기가 2인 분할에 대응한다.
• ${\bbZ}[v,v^{-1}]$-스팬 $\{C'_w : w \notin W_c\}$는 히크 대수 ${\Cal{H}}(W)$에서 양쪽 아이디얼을 이룬다. 여기서 $W_c$는 완전히 교환 가능한 원소들의 집합이다.
• 몫 대수 ${\Cal{H}}(W)/J(W)$는 $w \in W_c$에 의해 인덱싱된 정규 기저 $">c_w$를 가지며, 이는 $z$가 완전히 교환 가능할 경우에 구조 상수 $g_{x,y,z}$의 조합론적 계산을 가능하게 한다. 이 경우 $g_{x,y,z} \in \bbN[v,v^{-1}]$임을 보장한다.