[논문 리뷰] On $4n$-dimensional neither pointed nor semisimple Hopf algebras and the associated weak Hopf algebras

Chen Jia-lei, Shilin Yang외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 4n차원의 비점형(non-pointed), 비단순(non-semisimple) 호프 대수 $H_{4n}$와 관련된 약한 호프 대수 $\mathfrak{w}H_{4n}$를 구축하고 분석하며, $H_{4n}$가 명시적인 보편 $R$-행렬을 가진 쿼라-삼각형(quasi-triangular)임을 증명한다. $H_{4n}$와 그 약한 쌍대 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$의 그린 링을 생성자와 관계를 통해 수립하여, $H_{4n}$의 그린 링이 교환 가능할지라도 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$의 그린 링은 비가환임을 드러낸다.

ABSTRACT

For a class of neither pointed nor semisimple Hopf algebras $H_{4n}$ of dimension $4n$, it is shown that they are quasi-triangular, which universal $R$-matrices are described. The corresponding weak Hopf algebras $\mathfrak{w}H_{4n}$ and their representations are constructed. Finally, their duality and their Green rings are established by generators and relations explicitly. It turns out that the Green rings of the associated weak Hopf algebras are not commutative even if the Green rings of $H_{4n}$ are commutative.

연구 동기 및 목표

• 4n차원의 호프 대수 $H_{4n}$의 표현 이론을 연구하기 위해, 이는 점형이 아니며 단순하지도 않다.
• $H_{4n}$와 그 쌍대에서 유도된 약한 호프 대수 $\mathfrak{w}H_{4n}$와 그 쌍대 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$를 구성하기 위해.
• $H_{4n}$, $\mathfrak{w}H_{4n}$, $H_{4n}^*$, $\mathfrak{w}H_{4n}^*$의 그린 링을 생성자와 관계를 통해 명시적으로 기술하기 위해.
• $H_{4n}$의 그린 링이 교환 가능할지라도 $\mathfrak{w}H_{4n}^*$의 그린 링이 비가환임을 분석하기 위해.

제안 방법

• 원시 $2n$-번째 단위근 $q$를 사용하여 생성자와 관계로 $H_{4n}$를 정의함으로써, 비점형, 비단순 호프 대수로서의 그 구조를 확립한다.
• 생성자의 대수적 관계를 이용하여 보편 $R$-행렬을 명시적으로 구성함으로써 $H_{4n}$가 쿼라-삼각형임을 증명한다.
• 표준적인 구성법을 사용하여 $H_{4n}$에서 약한 호프 대수 $\mathfrak{w}H_{4n}$를 구성하며, 코곱과 여도함수를 약한 구조로 확장한다.
• 부분모듈러의 텐서곱을 분석하고 동형류 간의 관계를 식별함으로써 그린 링 $r(H_{4n})$을 명시적으로 계산한다.
• 부분모듈러에 대응하는 생성자와 모듈러 분해에서 유도된 관계를 사용하여 표현 링 $r(\mathfrak{w}H_{4n})$과 그 쌍대 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$를 구성한다.
• 자유 비가환 대수의 몫환과 이상을 이용한 동형관계를 수립함으로써 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$의 구조를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비점형, 비단순 호프 대수 $H_{4n}$는 차원이 $4n$일 때 쿼라-삼각형인가? 만약 그렇다면 보편 $R$-행렬은 무엇인가?
• RQ2 약한 호프 대수 $\mathfrak{w}H_{4n}$는 어떻게 $H_{4n}$에서 구성되며, 그 표현론적 성질은 무엇인가?
• RQ3 쌍대 약한 호프 대수의 그린 링 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$의 구조는 무엇이며, $H_{4n}$와 어떻게 다를까?
• RQ4 왜 $r(H_{4n})$이 교환 가능할지라도 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$는 비가환인가?

주요 결과

• 호프 대수 $H_{4n}$는 쿼라-삼각형이며, 모든 보편 $R$-행렬은 그 생성자와 원시 $2n$-번째 단위근 $q$에 대해 명시적으로 기술된다.
• 약한 호프 대수 $\mathfrak{w}H_{4n}$는 $H_{4n}$에서 구성되며, 그 표현 링 $r(\mathfrak{w}H_{4n})$은 생성자와 관계를 통해 기술된다.
• 그린 링 $r(H_{4n})$은 교환 가능하지만, 쌍대 약한 호프 대수의 그린 링 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$는 비가환하며, 이는 핵심적인 구조적 차이점이다.
• 그린 링 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$는 $\mathbb{Z}\langle Y,Z,X_j,W\rangle/I$의 몫환과 동형이며, 여기서 $I$는 $Y^2-1$, $Z^2-Z-YZ$, 그리고 $X_j$-관계를 포함하는 명시적 관계로 생성된다.
• $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$의 $\mathbb{Z}$-기저는 $\{a_j, b^i c^k \mid 1\leq j\leq n-1, i,k=0,1\} \cup \{b^i d \mid i=0,1\}$로 주어지며, 여기서 $b = M[1,n]$, $c = M[2,0]$, $a_j = P_j$, $d = N_0$이다.
• 표현 링 $r(\mathfrak{w}H_{4n}^*)$는 $b$, $c$, $d$, $a_j$로 생성되며, 비가환성은 몫환에서 $X_1 Y - Y X_1 \neq 0$ 및 $X_1 W - W Y \neq 0$의 관계에서 기인한다.