[논문 리뷰] On a bound for the diameter of Cayley networks of symmetric groups generated by transposition trees

Ashwin Ganesan|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 14.

Interconnection Networks and Systems인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 위의 전치수 나무로 생성된 카일리 그래프의 지름에 대한 상한을 분석하며, 극단적 나무에서의 날카움을 입증하고, 모든 순열을 열거하지 않으면서도 더 날카운 추정치를 계산하는 다항식 시간 알고리즘을 제안한다. 이는 계산 효율성을 크게 향상시키면서도 이론적 상한을 유지한다.

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a Cayley graph of the permutation group generated by a transposition tree $T$ on $n$ vertices. In an oft-cited paper \cite{Akers:Krishnamurthy:1989} (see also \cite{Hahn:Sabidussi:1997}), it is shown that the diameter of the Cayley graph $\Gamma$ is bounded as $$\diam(\Gamma) \le \max_{\pi \in S_n}{c(\pi)-n+\sum_{i=1}^n \dist_T(i,\pi(i))},$$ where the maximization is over all permutations $\pi$, $c(\pi)$ denotes the number of cycles in $\pi$, and $\dist_T$ is the distance function in $T$. In this work, we first assess the performance (the sharpness and strictness) of this upper bound. We show that the upper bound is sharp for all trees of maximum diameter and also for all trees of minimum diameter, and we exhibit some families of trees for which the bound is strict. We then show that for every $n$, there exists a tree on $n$ vertices, such that the difference between the upper bound and the true diameter value is at least $n-4$. Observe that evaluating this upper bound requires on the order of $n!$ (times a polynomial) computations. We provide an algorithm that obtains an estimate of the diameter, but which requires only on the order of (polynomial in) $n$ computations; furthermore, the value obtained by our algorithm is less than or equal to the previously known diameter upper bound. This result is possible because our algorithm works directly with the transposition tree on $n$ vertices and does not require examining any of the permutations (only the proof requires examining the permutations). For all families of trees examined so far, the value $\beta$ computed by our algorithm happens to also be an upper bound on the diameter, i.e. $$\diam(\Gamma) \le \beta \le \max_{\pi \in S_n}{c(\pi)-n+\sum_{i=1}^n \dist_T(i,\pi(i))}.$$

연구 동기 및 목표

• 전치수 나무로 생성된 카일리 그래프의 지름에 대한 잘 알려진 상한의 날카움과 엄밀함을 평가하는 것.
• 기존 상한이 날카로운지 또는 엄밀한지 확인할 수 있는 나무의 가족을 특정하는 것.
• 모든 순열 열거 없이도 전치수 나무의 구조만을 사용하여 지름 추정치를 계산하는 계산적으로 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 알고리즘이 출력하는 값이 항상 고전적 상한 이하임을 증명하고, 다양한 나무 가족에 대해 알려진 상한보다 개선되거나 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 논문은 고전적 상한을 분석한다: $\diam(\Gamma) \le \max_{\pi \in S_n} \left\{ c(\pi) - n + \sum_{i=1}^n \dist_T(i, \pi(i)) \right\}$, 여기서 $c(\pi)$ 는 순열 $\pi$ 의 순환의 수이다.
• 최대 및 최소 지름을 가진 나무에 대해 이 상한을 테스트하여, 두 경우 모두에서 날카로움을 입증한다.
• 새로운 알고리즘이 제안되며, 이는 전치수 나무 $T$ 를 사용하여 지름의 추정치 $\beta$ 를 계산한다. 이 알고리즘은 $n$ 에 대해 다항식 시간 연산만을 요구한다.
• 알고리즘은 순열을 모두 검사하는 것과는 달리 나무 구조에 직접 작용하여 $n!$ 의 복잡도를 피한다. 다만, 이 알고리즘의 타당성에 대한 이론적 증명은 순열 분석에 의존한다.
• 이 방법은 $\diam(\Gamma) \le \beta \le \text{고전적 상한}$ 을 확립하여, 새로운 추정치가 항상 타당하며 가능하면 더 날카로울 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전치수 나무로 생성된 카일리 그래프의 지름에 대한 고전적 상한은 모든 나무 구조에 대해 날카로운가?
• RQ2 고전적 상한이 진정한 지름보다 엄밀히 큰 나무의 가족은 무엇인가?
• RQ3 모든 순열을 열거하지 않고도 다항식 시간 내에 지름 추정치를 계산할 수 있는가?
• RQ4 제안된 알고리즘이 계산적으로 효율적이면서도 고전적 추정치 이상으로 증명 가능한 상한을 제공하는가?

주요 결과

• 고전적 상한은 최대 및 최소 지름을 가진 모든 나무에 대해 날카로움이 입증된다.
• 고전적 상한이 진정한 지름보다 엄밀히 큰 나무의 가정이 존재한다.
• 모든 $n$ 에 대해 $n$ 개의 정점을 가진 나무가 존재하여, 고전적 상한과 진정한 지름 사이의 격차가 최소 $n - 4$ 이상이 된다.
• 제안된 알고리즘은 전체 순열 열거의 $n!$ 복잡도를 피하면서도 다항식 시간 내에 지름 추정치 $\beta$ 를 계산한다.
• 모든 테스트된 나무 가족에 대해 알고리즘의 출력값 $\beta$ 는 계산적으로 효율적이며, 동시에 지름에 대한 타당한 상한을 만족하며, $\diam(\Gamma) \le \beta \le \text{고전적 상한}$ 을 만족한다.