[논문 리뷰] On a certain extension of the Riemann-Liouville fractional derivative operator

Gauhar Rahman, Nisar Kottakkaran Kottakkaran Sooppy외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 09.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 매개변수 p와 q를 가진 확장된 베타 함수를 포함하여 리만-리우빌 분수도함수 연산자의 새로운 확장을 제안한다. 또한 콘플루언트 하이퍼기하급수 함수 1F1을 사용하여 이를 더욱 일반화한다. 주요 기여는 멜린 변환 관계와 확장된 하이퍼기하급수 및 아펠 함수와의 연결을 유도함으로써, 새로운 적분 표현과 특수 함수들(예: 미타그레플러 함수 및 포크-라이트 함수)에 대한 운영 공식을 가능하게 한다. 이 새로운 연산자 하에서 유도된다.

ABSTRACT

The main aim of this present paper is to present a new extension of the fractional derivative operator by using the extension of Beta function recently defined by Shadab et al.[19]. Moreover, we establish some results related to the newly defined modified fractional derivative operator such as Mellin transform and relations to extended hypergeometric and Appell's function via generating functions.

연구 동기 및 목표

• 두 매개변수 p와 q를 가진 일반화된 베타 함수를 통합하여 리만-리우빌 분수도함수 연산자의 새로운 확장을 개발하기 위해.
• 새로운 분수도함수 연산자와 관련된 멜린 변환 및 생성함수를 포함하는 운영 공식을 수립하기 위해.
• 확장된 연산자와 특수 함수들(예: 확장된 하이퍼기하급수 및 아펠 함수) 간의 관계를 탐색하기 위해.
• 추가 매개변수와 특수 함수 성분을 도입함으로써 고전적 분수도함수에 대한 기존 결과를 일반화하기 위해.
• 특수 매개변수 값의 극한에서 고전적 및 기존의 확장 형태로 축소되는 통합된 분수도함수 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 확장된 분수도함수 연산자는 (x−t)^{-μ−1} 핵함수와 지수 항 exp(−px/t − qx/(x−t))를 포함하는 적분 변환을 통해 정의되며, 고전적 리만-리우빌 형태를 일반화한다.
• 지수 항을 두 개의 콘플루언트 하이퍼기하급수 함수 1F1(λ;ρ;−px/t)와 1F1(λ;ρ;−qx/(x−t))의 곱으로 대체함으로써 연산자를 추가로 확장하며, 이는 추가적인 형상 매개변수 λ와 ρ를 도입한다.
• 확장된 베타 함수 Bp,q(x,y) = ∫₀¹ t^{x−1}(1−t)^{y−1} exp(−p/t − q/(1−t)) dt를 포함하는 적분 표현을 사용하여 새로운 연산자의 멜린 변환을 유도한다.
• 논문은 확장된 분수도함수와 확장된 하이퍼기하급수 함수 pFq 및 아펠의 함수 F1을 연결하는 생성함수 관계를 수립한다.
• 이 방법은 특수 함수의 항별 적분 및 급수 전개 기법을 포함하는 운영 해석학 기법을 적용한다.
• 극한 경우(예: p=q=0 또는 λ=ρ)에서 고전적 및 이전에 알려진 확장된 분수도함수 연산자가 복원됨을 보여줌으로써, 이 프레임워크가 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 매개변수를 가진 베타 함수와 관련 특수 함수를 사용하여 리만-리우빌 분수도함수는 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 매개변수 p, q, λ, ρ를 가진 새로 정의된 분수도함수 연산자의 멜린 변환 성질은 무엇인가?
• RQ3 확장된 분수도함수와 확장된 하이퍼기하급수 및 아펠 함수 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 새로운 연산자는 미타그레플러 함수 및 포크-라이트 함수와 같은 일반화된 특수 함수에 대해 닫힌 형태의 표현식을 생성할 수 있는가?
• RQ5 매개변수가 고전적 형태로 축소될 때 확장된 연산자의 극한 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 확장된 분수도함수 연산자의 멜린 변환은 함수의 멜린 변환과 확장된 베타 함수를 포함하는 일반화된 하이퍼기하급수 함수의 곱으로 유도된다.
• 새로운 연산자 하에서 z^{σ−1}의 분수도함수는 확장된 베타 함수 Bp,q(σ, −μ)를 포함하는 표현식으로 나타나며, 고전적 결과 Γ(σ+1)/Γ(σ−μ+1) z^{σ−μ}를 일반화한다.
• 미타그레플러 함수 Eγ,δ^μ(z)의 분수도함수는 Bp(η+k, ω−η)/B(η,ω−η)를 포함하는 새로운 p-미타그레플러 유형 함수를 도출함으로써 새로운 운영 항등식을 수립한다.
• 포크-라이트 함수 mΨn의 분수도함수는 확장된 베타 함수 Bp^α(η+k, μ−η)를 포함하는 급수 형태로 표현되며, 새로운 운영 공식을 제공한다.
• α=1 이고 p=0 이면 결과는 고전적 리만-리우빌 분수도함수로 축소되며, 기존 이론과의 일致성을 확인한다.
• λ=ρ 일 때 결과는 이전에 알려진 확장 형태(Rahman 등 [16])로 축소되며, 이는 그 일반성과 통합적 역할을 검증한다.