[논문 리뷰] On a Class of Matrix Pencils Equivalent to a Given Matrix Polynomial

Dario A. Bini, Leonardo Robol|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 04.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 24인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 주어진 행렬 다항식 P(x)와 동치인 새로운 행렬 펜슬 A(x)를 제안한다. 이는 서로소인 모닉 다항식과 맞춤형 행렬 다항식을 사용하여 대각행렬 + 낮은 랭크의 구조로 구성된다. 이 방법은 고유값 문제의 조건수를 향상시키며, 특히 일반화된 펠렛 정리와 트로픽 루트를 통해 근을 선택할 경우, P(x)에 비해 수치적 안정성이 크게 향상된다.

ABSTRACT

Abstract. We say that an mˆm matrix polynomial P pxq “ řni“0 Pixi is equivalent to an mqˆ mq matrix polynomial Apxq, and write Apxq « P pxq, if there exist mqˆmq matrix polynomials Epxq, F pxq such that detEpxq and detF pxq are nonzero constants and EpxqApxqF pxq “ Impq´1q ‘ P pxq. Given P pxq of degree n we provide an mq ˆmq matrix polynomial Apxq such that: Apxq « P pxq, A#pxq « P#pxq, where P#pxq “ xnP px´1q is the reversed polynomial of P pxq; Apxq has the form Apxq “ Dpxq ` rIm,..., ImstrW1pxq,...,Wqpxqs, where Dpxq is a diagonal matrix defined by Dpxq “ diagpb1pxqIm,..., bq´1pxqIm, bqpxqPn ` sIm, the polynomials b1pxq,..., bqpxq are any co-prime monic polynomials of degree d1,..., dq, respectively, while W1pxq,...,Wqpxq are matrix polynomials of degree less than d1,..., dq where d1 ` ¨ ¨ ¨ ` dq “ n and s is a constant which makes bqpxqPn ` sIm nonsingular modulo bipxq, i “ 1,..., q ´ 1. An explicit expression of the eigenvectors of Apxq as functions of the eigenvalues is proven. For bipxq “ px ´ βiqIm, i “ 1,..., n, the matrix polynomial Apxq is a linear pencil of the form diagonal plus low-rank. Numerical experiments show that for suitable choices of β1,..., βn obtained by means of the generalized Pellet theorem and the use of tropical roots, the eigenvalue problem for Apxq is much better conditioned than the eigenvalue problem for P pxq.

연구 동기 및 목표

• 주어진 행렬 다항식 P(x)와 동치인 행렬 펜슬 A(x)를 개발하여, A(x)와 그 역행렬 형태 A#(x)가 각각 P(x)와 P#(x)와 동치가 되도록 한다.
• A(x)의 고유값 문제 조건수가 P(x)보다 더 나아지도록 보장하며, 특히 고차수 또는 악조건인 다항식의 경우에 유용하다.
• A(x)를 서로소인 모닉 다항식과 차수 제한이 있는 행렬 다항식을 사용하여 대각 블록과 낮은 랭크 갱신을 조합한 구조적 행렬 다항식으로 구성한다.
• 고유벡터의 명시적 표현을 유도하여 고유값에 대한 함수로 표현함으로써 직접적인 스펙트럼 분석이 가능하도록 한다.
• 수치적 실험을 통해 일반화된 펠렛 정리와 트로픽 루트를 통한 최적의 근 선택 전략이 A(x)의 조건수를 상당히 향상시킴을 보여준다.

제안 방법

• 유니모듈라 행렬 다항식 E(x)와 F(x)를 정의하여 E(x)A(x)F(x) = I_{m(n-1)} ⊕ P(x)를 만족함으로써 구조적 동치성을 확보한다.
• A(x)를 D(x) + [Im,...,Im]s[W1(x),...,Wq(x)]의 형태로 구성하며, D(x)는 다항식 계수 b1(x),...,bq(x)를 갖는 블록 대각행렬로, 각도의 합이 n이 되도록 한다.
• b1(x),...,bq(x)를 주어진 차수 d1,...,dq를 갖는 서로소인 모닉 다항식으로 선택하여 구조적 유일성과 가역성 조건을 확보한다.
• 적절한 상수 s를 선택하여 i=1,...,q-1에 대해 bq(x)Pn + sIm 이 bi(x)에 대해 비특이성을 유지하도록 보장한다.
• 일반화된 펠렛 정리와 트로픽 루트를 활용하여 A(x)의 고유값 문제에 잘 조건화된 문제를 유도하는 근 β1,...,βn을 선택한다.
• 고유값에 대한 함수로 A(x)의 고유벡터 표현을 명시적으로 유도하여 스펙트럼 분석 및 역오차 제어가 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 P(x)와 그 역다항식 P#(x)와 모두 동치인 행렬 펜슬 A(x)를 구성할 수 있는가?
• RQ2 A(x)의 구조를 어떻게 설계하여 P(x)에 비해 고유값 문제의 조건수를 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 서로소인 모닉 다항식과 낮은 랭크 갱신은 고유값 계산의 수치적 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 A(x)에 대해 고유값에 대한 함수로 명시적인 고유벡터 표현을 도출할 수 있으며, 이는 스펙트럼 분석에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 일반화된 펠렛 정리와 트로픽 루트를 기반으로 한 근 선택 전략은 A(x)의 조건수를 어느 정도 향상시키는가?

주요 결과

• 구성된 행렬 펜슬 A(x)는 P(x)와 그 역다항식 P#(x)와 모두 동치이며, 이는 구조적 및 스펙트럼적 일致성을 보장한다.
• A(x)는 대각행렬에 낮은 랭크 갱신을 더한 형태를 띠며, 차수의 합이 n이 되는 서로소인 모닉 다항식 b1(x),...,bq(x)에 의해 블록 구조가 정의된다.
• 상수 s는 i=1,...,q-1에 대해 bq(x)Pn + sIm 가 bi(x)에 대해 비특이성을 유지하도록 선택되어, 가역성과 안정성이 보장된다.
• A(x)의 고유벡터 표현은 고유값에 대한 함수로 명시적으로 유도되었으며, 이는 직접적인 스펙트럼 분석과 역오차 제어를 가능하게 한다.
• 수치적 실험 결과, β1,...,βn 이 일반화된 펠렛 정리와 트로픽 루트를 통해 선택될 경우, A(x)의 고유값 문제는 P(x)에 비해 상당히 더 잘 조건화되어 있음을 확인하였다.
• 특수한 경우로 bi(x) = (x - βi)^m 일 때, A(x)는 대각행렬 + 낮은 랭크의 선형 펜슬 형태를 취하게 되며, 이는 수치적으로 유리하다.