[논문 리뷰] On a class of $q$-Bernoulli, $q$-Euler and $q$-Genocchi polynomials

Nazım I. Mahmudov, Mohammad Momenzadeh|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 18.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $q$-계산 체계를 사용하여 $q$-베르누이, $q$-오일러, $q$-지아노치 다항식의 통합된 클래스를 제안하며, 스리바스타바–파인타르의 영감을 받은 $q$-덧셈 정리 포함 고전적 항등식의 $q$-해석을 도출한다. 주요 기여는 새로운 $q$-덧셈 연산과 $q$-이항계수 및 $q$-스털링 수를 통한 $q$-지아노치 다항식과 $q$-베르누이 다항식 간의 명시적 관계이다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to introduce and investigate a class of $q$-Bernoulli, $q$-Euler and $q$-Genocchi polynomials. The $q$-analogues of well-known formulas are derived. The $q$-analogue of the Srivastava--Pintér addition theorem is obtained. Some new identities involving $q$-polynomials are proved.

연구 동기 및 목표

• 고전적 특수함수의 $q$-해석을 정의함으로써 $q$-베르누이, $q$-오일러, $q$-지아노치 다항식의 통합된 프레임워크를 개발한다.
• 스리바스타바–파인타르의 덧셈 정리와 같은 고전적 다항식 항등식을 $q$-해석 환경으로 일반화한다.
• $q$-이항계수 및 $q$-스털링 수의 구조를 통해 $q$-지아노치 다항식과 $q$-베르누이 다항식 간의 새로운 관계를 수립한다.
• $q$-지수함수 $\mathcal{E}_q(z)$에 기반한 새로운 $q$-덧셈 연산 $x \oplus_q y$를 정의함으로써 새로운 생성함수 항등식을 가능하게 한다.

제안 방법

• $q$-시프트 팩토리얼, $q$-수, $q$-階乗, $q$-이항계수와 같은 고전적 특수함수의 $q$-해석을 정의한다.
• $\mathcal{E}_q(tx)\mathcal{E}_q(ty) = \sum_{n=0}^\infty (x \oplus_q y)^n \frac{t^n}{[n]_q!}$를 통해 생성함수를 이용해 새로운 $q$-덧셈 연산 $x \oplus_q y$를 도입한다.
• $q$-지수함수 $\mathcal{E}_q(z) = e_q(z/2)E_q(z/2)$를 사용하여 $q$-다항식의 생성함수를 정의한다.
• 생성함수 변환과 $q$-이항계수 전개를 통해 스리바스타바–파인타르의 덧셈 정리의 $q$-해석을 유도한다.
• $q$-스털링 수의 제2종 $\left\{ \begin{array}{c} k \\ j \end{array} \right\}_q$를 사용하여 다항식의 복합 및 콘볼루션 항등식을 표현한다.
• $q$-생성함수의 멱급수 전개에서 계수 비교를 통해 재귀 및 변환 항등식을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $q$-베르누이, $q$-오일러, $q$-지아노치 다항식을 단일 $q$-계산 프레임워크 아래 체계적으로 통합할 수 있는가?
• RQ2 $q$-다항식에 대한 스리바스타바–파인타르의 덧셈 정리의 $q$-해석은 무엇인가?
• RQ3 $q$-이항계수 및 $q$-스털링 수의 구조를 통해 $q$-지아노치 다항식과 $q$-베르누이 다항식은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 $q$-지수함수 $\mathcal{E}_q(z)$로부터 유도되는 새로운 $q$-덧셈 연산 $x \oplus_q y$는 무엇이며, 이것이 고전적 덧셈을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• $q$-덧셈 연산 $x \oplus_q y$를 통해 $q$-해석의 스리바스타바–파인타르 덧셈 정리의 $q$-해석을 도출하였으며, 이는 $\mathcal{E}_q(tx)\mathcal{E}_q(ty) = \sum_{n=0}^\infty (x \oplus_q y)^n \frac{t^n}{[n]_q!}$로 정의된다.
• 새로운 $q$-덧셈 연산 $x \oplus_q y$는 $\sum_{k=0}^n \left[\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_k(-1,q)_{n-k}}{2^n} x^k y^{n-k}$로 정의되며, 고전적 다항식 덧셈을 일반화한다.
• $q$-이항계수 및 $q$-스털링 수를 포함하는 콘볼루션 항등식을 통해 $q$-지아노치 다항식과 $q$-베르누이 다항식 간의 관계를 유도하였다: $\mathfrak{G}_{n,q}(x,y) = \frac{1}{[n+1]_q} \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{m^{n-k}} \left[\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right]_q \left( \sum_{j=0}^k \left[\begin{array}{c}k \\ j\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_{k-j}}{m^{k-j}2^{k-j}} \mathfrak{G}_{j,q}(x) - \mathfrak{G}_{k,q}(x) \right) \mathfrak{B}_{n+1-k,q}(my)$.
• $q$-베르누이 다항식에 대해 유사한 항등식이 수립되었다: $\mathfrak{B}_{n,q}(x,y) = \frac{1}{2[n+1]_q} \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{m^{n-k}} \left[\begin{array}{c}n+1 \\ k\end{array}\right]_q \left( \sum_{j=0}^k \left[\begin{array}{c}k \\ j\end{array}\right]_q \frac{(-1,q)_{k-j}}{m^{k-j}2^{k-j}} \mathfrak{B}_{j,q}(x) + \mathfrak{B}_{k,q}(x) \right) \mathfrak{G}_{n+1-k,q}(my)$.
• $\mathcal{E}_q(z)$의 생성함수는 새로운 $q$-지수 구조를 이끌어내어 $q$-덧셈 및 $q$-뺄셈 연산을 정의할 수 있게 하며, 고전적 다항식 항등식을 확장한다.