[논문 리뷰] On a conjecture of Erd\H{o}s on locally sparse Steiner triple systems

Stefan Glock, Daniela Kühn외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 12.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Pasch, mitre 등의 금지된 구성요소를 피하는 탐욕적인 랜덤 과정을 분석하여 국소적으로 희박한 스테이너 삼중체계에 대한 에르되시의 추측을 증명한다. 임의의 고정된 k에 대해, 순서 n의 k-희박한 부분 스테이너 삼중체계가 존재하며, 이는 (1/6 - o(1))n²개의 삼중체를 포함한다. 이는 모든 (j, j-2)-구성요소(j ≤ k+2)를 피하면서 가능한 최대 밀도에 점점 수렴한다.

ABSTRACT

A famous theorem of Kirkman says that there exists a Steiner triple system of order $n$ if and only if $n\\equiv 1,3\\mod{6}$. In 1973, Erd\\H{o}s conjectured that one can find so-called `sparse' Steiner triple systems. Roughly speaking, the aim is to have at most $j-3$ triples on every set of $j$ points, which would be best possible. (Triple systems with this sparseness property are also referred to as having high girth.) We prove this conjecture asymptotically by analysing a natural generalization of the triangle removal process. Our result also solves a problem posed by Lefmann, Phelps and R\\"odl as well as Ellis and Linial in a strong form, and answers a question of Krivelevich, Kwan, Loh, and Sudakov. Moreover, we pose a conjecture which would generalize the Erd\\H{o}s conjecture to Steiner systems with arbitrary parameters and provide some evidence for this.

연구 동기 및 목표

• 에르되시가 제기한, 높은 둥우성(지름)을 갖는 국소적으로 희박한 스테이너 삼중체계의 존재에 관한 오랫동안 미해결된 추측을 해결하기 위해.
• 모든 고정된 k에 대해 충분히 큰 적합한 n에 대해 k-희박한 스테이너 삼중체계가 존재한다는 것을 입증하기 위해.
• 레프만, 프레프스, 라우드가 제기한 문제에 대해 강력한 해를 제공하기 위해, 밀도 하한이 유한한 부분 스테이너 삼중체계의 존재를 입증하기 위해.
• Pasch 및 mitre 구성요소와 같은 금지된 하위구조를 분석하여 3-균일 초그래프에서의 극한 구성요소에 대한 이해를 확장하기 위해.
• 지름 조건과 희박성에 기반하여 임의의 매개변수를 갖는 스테이너 체계에 대한 일반화된 추측을 제안하기 위해.

제안 방법

• 금지된 (j, j-2)-구성요소를 피하면서 삼중체를 반복적으로 추가하는 삼중체 제거 과정과 유사한 랜덤 과정을 사용한다.
• 의존성 그래프를 철저히 구성하여 루바시의 국소 렘마를 적용하여 희박성 제약 위반 확률를 통제한다.
• 비정상적인 삼중체 수, r-집합에서의 비정상적인 차수, 두 개의 r-집합에서의 높은 공통차수를 추적하기 위해 비상사건 B_S, B_e, B_ee'를 정의한다.
• 체르노프 유사한 추정을 통해 차수 및 구성요소 위반의 확률를 추정하고, 기대값 주변의 집중을 보장한다.
• 보조 초그래프를 도입하고 정리 7.4를 적용하여 큰 매칭을 추출함으로써, 거의 모든 r-집합을 커버하는 부분 스테이너 체계를 도출한다.
• 희박성과 밀도 사이의 트레이드오프를 조절하기 위해 매개변수 θ를 사용하며, 악성 사건의 확률가 지수적으로 감소하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르되시의 추측, 즉 모든 고정된 k에 대해 k-희박한 스테이너 삼중체계의 존재가 점점 수렴하는가?
• RQ2 k가 증가함에 따라, k-희박한 부분 스테이너 삼중체계에서 밀도가 1/6에 수렴할 수 있는가?
• RQ3 모든 (j, j-2)-구성요소(j ≤ k+2)를 피하는 부분 스테이너 삼중체계의 최대 밀도는 얼마인가?
• RQ4 금지된 구성요소를 피하면서 삼중체를 탐욕적으로 추가하는 랜덤 과정이 근사 최적 크기의 체계를 생성할 수 있는가?
• RQ5 n → ∞ 이면서 k가 고정일 때, 가장 큰 k-희박한 부분 스테이너 삼중체계의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 모든 고정된 k에 대해, n개의 정점에서 (1/6 - o(1))n²개의 삼중체를 포함하는 k-희박한 부분 스테이너 삼중체계가 존재하며, 이는 에르되시의 추측을 점점 수렴함으로써 확인된다.
• 이러한 체계의 밀도는 1/6에 수렴하며, 이는 레프만, 프레프스, 라우드의 질문을 해결함으로써 k가 증가함에 따라 c_k → 1/6임을 보여준다.
• 결과적으로, 모든 (j, j-2)-구성요소(j ≤ k+2)를 피하는 부분 스테이너 삼중체계의 최대 밀도는 점점 최적임을 암시한다.
• 증명은 삼중체 제거 유형의 과정이 고지름과 근사 최대 크기의 체계를 생성하는 데로 확장될 수 있음을 입증한다.
• 이 방법은 모든 에르되시-구성요소(최대 k+2개 정점)를 피하는 체계의 존재를 확인하며, Pasch 및 mitre 구성요소를 포함한다.
• 저자들은 지름 조건과 희박성에 기반하여 임의의 매개변수를 갖는 스테이너 체계에 대한 일반화된 추측을 제안한다. 이는 모든 적합한 매개변수에 대해 고지름 체계가 존재할 것임을 시사한다.