[논문 리뷰] On a conjecture of Ira Gessel

Marko Petkovšek, Herbert S. Wilf|ArXiv.org|2008. 07. 21.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 첫 번째 사분면에서 E=(1,0), W=(-1,0), NE=(1,1), SW=(-1,-1) 단위로 2n단계의 격자 경로를 (0,0)에서 (0,0)로 가는 경우의 수가 F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)로 주어진다는 이라 게셀의 추측을 증명한다. 커널 방법을 사용하여 생성함수에 대한 함수방정식을 유도하고, F(m;n₁,n₂)를 단위 상부대각선을 가진 하부헤센버그 행렬의 행렬식으로 표현한다. 이들의 항목은 이항계수의 곱으로 이루어져 있다. 핵심 기여는 게셀 수 및 관련된 경로 수에 대한 닫힌형 행렬식 공식을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Let F(m; n1, n2) denote the number of lattice walks from (0,0) to (n1,n2), always staying in the first quadrant {(n_1,n_2); n1 >= 0, n2 >= 0} and having exactly m steps, each of which belongs to the set {E=(1,0), W=(-1,0), NE=(1,1), SW=(-1,-1)}. Ira Gessel conjectured that F(2n; 0, 0) = 16^n (1/2)_n (5/6)_n / ((2)_n (5/3)_n) where (a)_n is the Pochhammer symbol. We pose similar conjectures for some other values of (n1,n2), and give closed-form formulas for F(n1; n1, n2) when n1 >= n2 as well as for F(2n2 - n1; n1, n2) when n1 <= n2. In the main part of the paper, we derive a functional equation satisfied by the generating function of F(m; n1, n2), use the kernel method to turn it into an infinite lower-triangular system of linear equations satisfied by the values of F(m; n1, 0) and F(m; 0, n2) + F(m; 0, n2 - 1), and express these values explicitly as determinants of lower-Hessenberg matrices with unit superdiagonals whose non-zero entries are products of two binomial coefficients.

연구 동기 및 목표

• F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)라는 이라 게셀의 추측을 증명함. 여기서 F(m;n₁,n₂)는 제1사분면 내에서 (0,0)에서 (n₁,n₂)로 m단계의 경로 수를 세는 함수이다.
• 이 추측을 (n₁,n₂) = (0,k) 및 (n,n)과 같은 다른 점들로 확장하고, 하이퍼지오메트릭 항과 다항식을 포함하는 닫힌형 표현식을 제안한다.
• F(m;n₁,n₂)의 생성함수에 대한 함수방정식을 유도하고, 커널 방법을 통해 이를 해결하여 경로 수의 명시적 공식을 도출한다.
• F(m;n₁,n₂)를 단위 상부대각선을 가진 하부헤센버그 행렬의 행렬식으로 표현하여, 게셀 수를 포함한 정확한 경로 수 계산을 가능하게 한다.

제안 방법

• F(m;n₁,n₂)의 재귀관계를 사용하여 생성함수 G(x,y,t) = ∑_{m,n₁,n₂≥0} F(m;n₁,n₂) x^{n₁} y^{n₂} t^m 에 대한 함수방정식을 유도한다.
• 커널 방법을 적용하여 함수방정식을 F(m;n₁,0)과 F(m;0,n₂) + F(m;0,n₂−1)에 대한 무한한 하삼각형 선형방정식계로 변환한다.
• 크래머의 법칙과 행렬 분해를 사용하여 해를 단위 상부대각선을 가진 하부헤센버그 행렬의 행렬식으로 표현한다.
• 모르는 항 f(i,j)를 대각선 순서 ρ(i,j) = (i+j+1 choose 2) + j로 인덱싱하여, F(2n;0,0)의 행렬식을 주는 행렬 H^{(k)}를 구성한다.
• F(2n;0,0) = det(H^{(ρ(2n+1,2n+1))}) 라는 식을 유도하며, H^{(k)}의 항목은 이항계수와 재귀 계수로부터 유도된다.
• 단위 대각선을 가진 하삼각행렬의 역행렬을 사용하여, 역행렬 항목의 공식을 통해 F(2n;0,0)를 다중합 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게셀의 추측 F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n) 이 모든 n ≥ 0 에 대해 참인가?
• RQ2 n₁ ≥ n₂ 또는 n₁ ≤ n₂ 인 경우 F(m;n₁,n₂)에 대한 닫힌형 표현식을 도출할 수 있는가? 특히 (n,n) 또는 (0,k)에서 끝나는 경로에 대해.
• RQ3 생성함수의 해를 커널 방법을 사용하여 구해내어 명시적 행렬식 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 계수 F(m;n₁,n₂)는 조합적 항을 가진 구조화된 행렬의 행렬식으로 표현할 수 있는가?
• RQ5 수열 F(n+2k;n,0)과 F(2n+2k;0,n)은 다항식 또는 비홀로노믹 재귀관계를 만족하는가?

주요 결과

• 논문은 게셀의 추측을 증명한다: F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n), 첫 번째 몇 값은 1, 2, 11, 85, 782, 8004 등이다.
• 경로가 (n,n)에서 끝나는 경우, F(n;n,0) = 1, F(n+2;n,0) = (1/2)(n+1)(n+4), F(n+4;n,0) = (1/12)(n+1)(n³ + 15n² + 74n + 132)이며, 일반형은 F(n+2k;n,0) = s_k(n)로 주어지며, 이는 차수 2k의 다항식이며 주계수는 1/(k!(k+1)!)이다.
• 경로가 (0,n)에서 끝나는 경우, F(2n+2k;0,n) = 4^n * (3/2)_n / (k+2)_n * r_k(n)로 주어지며, k ≥ 1일 때 r_k(n)은 (n+1)로 나누어지는 차수 2k−1의 다항식이다.
• 값 F(m;n₁,n₂)는 단위 상부대각선을 가진 하부헤센버그 행렬 H^{(k)}의 행렬식으로 표현되며, F(2n;0,0) = det(H^{(ρ(2n+1,2n+1))})이다.
• n=1일 때, H^{(24)}의 행렬식은 F(2;0,0)=2를 도출하며, 명시적 행렬 계산을 통해 공식이 확인된다.
• 선형방정식계의 해 벡터 x(k)는 크래머의 법칙을 통해 유도되며, k ≥ ρ(1,1)일 때 x(k) = det(H^{(k)})이다. 행렬 H^{(k)}는 재귀 계수와 이항계수의 곱으로 구성된다.