[논문 리뷰] On a continued fraction expansion for Euler's constant

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 07.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다항계수를 가진 두 번째 차수 비동차 선형 재귀를 통해 메이저 G-함수와 초함수 유형 급수를 이용해 오일러의 상수 γ에 대한 새로운 연분수 전개를 제시한다. 이 전개는 단순하지 않은 연분수이며, 지수보다 느린 수렴 속도를 보이며, 명시적인 유리수 계수와 일반화 가능한 수렴근의 패턴을 제공함으로써 γ에 대한 새로운 유리수 근사 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Recently, A. I. Aptekarev and his collaborators found a sequence of rational approximations to Euler's constant $γ$ defined by a third-order homogeneous linear recurrence. In this paper, we give a new interpretation of Aptekarev's approximations in terms of Meijer $G$-functions and hypergeometric-type series. This approach allows us to describe a very general construction giving linear forms in 1 and $γ$ with rational coefficients. Using this construction we find new rational approximations to $γ$ generated by a second-order inhomogeneous linear recurrence with polynomial coefficients. This leads to a continued fraction (though not a simple continued fraction) for Euler's constant. It seems to be the first non-trivial continued fraction expansion convergent to Euler's constant sub-exponentially, the elements of which can be expressed as a general pattern. It is interesting to note that the same homogeneous recurrence generates a continued fraction for the Euler-Gompertz constant found by Stieltjes in 1895.

연구 동기 및 목표

• 오일러의 상수 γ에 대한 새로운 유리수 근사 방법을 초함수 유형 급수와 메이저 G-함수를 이용해 개발하기.
• 단순하지 않은 연분수 전개를 유도하여 γ에 대해 지수보다 느린 수렴 속도를 가지도록 하기.
• 재귀 관계를 이용해 1과 γ의 선형 결합을 유리수 계수로 일반화하기.
• 동일한 재귀 관계와 이전에 스티엘티에스에 의해 연구된 오일러-골름프츠 상수 사이의 연결 고리 설정하기.
• 지일버거의 알고리즘과 수직 다항식을 이용해 연분수 계수의 명시적 공식 제공하기.

제안 방법

• 저자들은 애프테카레프의 세 번째 차수 재귀 근사치를 메이저 G-함수와 초함수 급수의 관점에서 재해석한다.
• 유리수 근사를 생성하기 위해 다항계수를 가진 두 번째 차수 비동차 선형 재귀를 유도한다.
• 연분수는 분모가 0이 되지 않도록 보장하는 행렬식 유사 수열 $ \mathfrak{d}_n = p_{n-1}q_n - p_n q_{n-1} $ 을 사용해 구성된다.
• 계수를 단순화하기 위해 $ \rho_n = \frac{n\Delta_{n-1}}{2} $ 를 사용한 등가 변환을 적용한다.
• 행렬식 관계와 원래 재귀식에서 유도된 $ \Delta_n $ 의 재귀식을 통해 닫힌 형태의 패턴을 도출한다.
• 창의적 태블로핑의 지일버거 알고리즘을 사용해 관련 수열의 재귀 관계를 검증하고 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항계수를 가진 두 번째 차수 비동차 선형 재귀가 오일러의 상수 γ에 대한 유리수 근사를 생성할 수 있는가?
• RQ2 γ에 대해 일반적인 계수 패턴을 가진 단순하지 않은 연분수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 메이저 G-함수와 초함수 급수는 기존의 γ에 대한 유리수 근사를 재해석하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 γ에 대한 근사를 생성하는 재귀와 오일러-골름프츠 상수에 사용된 재귀 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ5 행렬식 수열 $ \mathfrak{d}_n $ 을 사용해 유리수 계수와 지수보다 느린 수렴 속도를 가진 연분수를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 오일러의 상수 γ에 대한 새로운 연분수 전개가 구성되었으며, 이는 지수보다 느린 수렴 속도를 가지며, 일반적인 패턴으로 표현 가능한 계수를 가진다.
• 연분수는 단순하지 않으며, 다항계수를 가진 두 번째 차수 비동차 선형 재귀에 의해 생성된다.
• 연분수의 계수 $ a_n^* $ 과 $ b_n^* $ 는 $ n \geq 6 $ 에 대해 $ a_n^* = -\frac{(n-1)^2}{4}\Delta_n\Delta_{n-2} $ 과 $ b_n^* = n^2\Delta_{n-1} + \frac{(n-1)(n-2)}{2}q_{n-2} $ 로 명시적으로 주어진다.
• 수열 $ \Delta_n $ 은 다항계수를 가진 세 번째 차수 선형 재귀를 만족하며, 계수의 정수성과 부호 패턴을 확인한다.
• 행렬식 수열 $ \mathfrak{d}_n $ 은 모든 $ n \geq 0 $ 에 대해 0이 아니며, 이는 연분수가 잘 정의되고 수렴함을 보장한다.
• 이 구성은 1과 γ의 선형 결합을 유리수 계수로 일반화할 수 있으며, γ에 대한 새로운 유리수 근사 프레임워크를 제공한다.