[논문 리뷰] On a cosine function defined for smooth normed spaces

Vitor Balestro, Emad Shonoda|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 06.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 노름의 Gateaux 도수를 이용하여 부드러운 미ン코프스키 공간에서 기하학적으로 직관적인余弦 함수 cm(x,y)를 도입하며, 이 함수가 대칭이 되는 것은 오직 유클리드 공간일 때에만임을 증명한다. 이 함수를 통해 라돈 평면을 기호의 부호로 특성화하고, cm과 사인 함수를 포함하는 미분방정식을 유도하여, 비유클리드 라돈 평면에서 삼각함수 매개변수화에 두 번째 차수의 왜곡이 나타남을 보이며, 곡률이 일정한 경우는 오직 유클리드 경우에만 성립함을 밝힌다.

ABSTRACT

We do further investigation in a certain cosine function defined for smooth Minkowski spaces. We prove that such function is symmetric if and only if the referred space is Euclidean, and also that it can be given in terms of the Gateaux derivative of the norm. As an application we use it to study the ratio between the lengths of tangent segments drawn through an external point to the unit circle of a Radon plane. We also give an easy characterization of such planes in terms of signs of the cosine function.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 미ン코프스키 공간에서 기하학적으로 직관적인余弦 함수 cm(x,y)의 새로운 정의를 제공한다.
• cm과 노름의 Gateaux 도수 사이의 연관성을 설정하여, 이 도수의 국소적이지 않은 특성화를 가능하게 한다.
• 외부 점에서 단위원에 이르는 탄젠트 선분 길이의 비율을 라돈 평면에서 cm를 이용해 조사한다.
• cm의 부호 행동을 통해 라돈 평면을 특성화한다.
• 비유클리드 라돈 평면에서 삼각함수의 두 번째 차수 기하학적 왜곡을 탐구한다.

제안 방법

• 노름의 Gateaux 도수를 이용해 cm(x,y)를 정의하고, 이가 톰슨의 원래 정의와 동치임을 보인다.
• cm를 바탕으로 반내적을 구성하여 대칭성과 유클리드 공간의 특성화 결과를 도출한다.
• 대노름에서 호의 길이로 매개변수화된 단위원을 이용해 cm와 사인 함수를 포함하는 두 번째 차수 미분방정식 f'' + ρf = 0을 유도한다.
• 함수 s ↦ cm(x₀, γ(s))와 s ↦ sn(γ(s), x₀)가 ρ(s)를 곡률 유사 계수로 가지는 조화 진동자 방정식을 만족함을 증명한다.
• 심플렉틱 형식 [·,·]을 이용한 단위원의 면적 매개변수화를 분석하여, 이가 라돈 평면에서 대노름의 호의 길이와 일치함을 보인다.
• 미분방정식의 해의 유일성을 이용해 ρ(s)가 일정한 것은 오직 노름이 유클리드일 때에만 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 余弦 함수 cm(x,y)가 대칭이 되는 조건은 무엇이며, 이는 기저 공간의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 余弦 함수 cm를 이용해 노름의 Gateaux 도수를 국소적이지 않게 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 라돈 평면에서 외부 점에서 단위원에 이르는 탄젠트 선분 길이의 비율은 기하학적으로 무엇을 의미하는가?
• RQ4 함수 ρ(s)는 비유클리드 라돈 평면에서 삼각함수의 두 번째 차수 왜곡과 곡률과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 라돈 평면은 오직余弦 함수 cm의 부호 행동만으로도 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 余弦 함수 cm(x,y)는 오직 유클리드 미ン코프스키 공간일 때에만 대칭이 되며, 이를 통해 엄밀한 기하학적 특성화를 확립한다.
• 余弦 함수는 노름의 Gateaux 도수로 표현될 수 있으며, 이는 이 도수의 국소적이지 않은 특성화를 가능하게 한다.
• 부드러운 라돈 평면에서 cm와 sn 함수는 f'' + ρf = 0라는 미분방정식을 만족하며, 여기서 ρ(s)는 단위원 위의 곡률 유사 함수이다.
• ρ(s)가 일정한 것은 오직 노름이 유클리드일 때에만 성립하며, 이는 오직 유클리드 공간에서 삼각함수의 표준적인 조화 운동이 발생함을 시사한다.
• 면적 매개변수화 γ_A는 라돈 평면에서 대노름의 호의 길이와 일치하며, 케플러의 법칙의 미분형을 확인한다.
• 이 연구는 비유클리드 라돈 평면에서 삼각함수에 '두 번째 차수 왜곡'이 존재하며, 리만 기하학과 유사한 성질을 가짐을 드러낸다.