[논문 리뷰] On a Counting Theorem of Skriganov

Niclas Technau, Martin Widmer|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 08.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 unimodular weakly admissible lattice에 대해 Skriganov의 격자점 수세기 정리(Counting Theorem)를 동차로 확장되는 정렬된 상자에서 비동차로 확장되는 정렬된 상자로 일반화한다. 이 과정에서 이중 격자에 대한 함수 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$에 의존하는 오차 항을 도입한다. 또한, 랭크 2인 unimodular 격자에서는 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$임을 증명하지만, 높은 랭크에서는 이 등식이 성립하지 않음을 보이며, 이 결과를 이용해 분모가 유계인 디오판틴 근사의 점 游수를 점 游수적으로 유도한다.

ABSTRACT

We prove a counting theorem concerning the number of lattice points for the dual lattices of weakly admissible lattices in an inhomogeneously expanding box, which generalises a counting theorem of Skriganov. The error term is expressed in terms of a certain function $ν(Γ^\perp,\cdot)$ of the dual lattice $Γ^\perp$, and we carefully analyse the relation of this quantity with $ν(Γ,\cdot)$. In particular, we show that $ν(Γ^\perp,\cdot)=ν(Γ,\cdot)$ for any unimodular lattice of rank 2, but that for higher ranks it is in general not possible to bound one function in terms of the other. Finally, we apply our counting theorem to establish asymptotics for the number of Diophantine approximations with bounded denominator as the denominator bound gets large.

연구 동기 및 목표

• 동차로 확장되는 상자에서의 Skriganov의 수세기 정리를 비동차로 확장되는 정렬된 상자로 확장한다.
• 특히 $\Gamma$가 unimodular이고 weakly admissible일 때, 이중 격자 $\Gamma^\perp$에 대한 $\nu(\Gamma, \cdot)$와 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ 간의 관계를 분석한다.
• 분모의 유계성 조건을 만족하는 디오판틴 근사의 수를 점 游수적으로 추정한다.
• 이중 격자의 $\nu$-함수에 의존하는 명시적인 오차 항을 수식에 포함시켜 이전 결과를 향상시킨다.

제안 방법

• 격자 $\Gamma$의 비영인 원소들 중 $\ell^2$-노름이 $\rho$ 이하인 원소들에 대해 $|x_1 \cdots x_n|$의 최소값으로 함수 $\nu(\Gamma, \rho)$를 정의하여 격자의 산술적 구조를 캡처한다.
• 대각행렬 $\mathcal{T}$에 대해 $T = (t_1 \cdots t_n)^{1/n} / \min\{t_1, \dots, t_n\}$를 정의하여 정렬된 상자 $B = \mathcal{T}[0,1]^n + y$의 확장 속도를 제어한다.
• 정리 1을 증명: $|\#(\Gamma \cap B) - \mathrm{vol}(B)|$에 대한 날카운 경계를 $\nu(\Gamma^\perp, T^\star)$와 $\nu(\Gamma^\perp, 2^R T)$를 포함하는 보조항으로 제시하며, $R$은 $\rho^n / \nu(\Gamma^\perp, \rho T)$에 의존한다.
• 랭크 2인 unimodular 격자일 경우, 특정한 희박한 행렬을 갖는 $S, R \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$의 존재 조건을 이용해 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$임을 증명한다.
• 높은 랭크에서는 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$를 $\nu(\Gamma, \cdot)$에 대해 일반적으로 유계로 둘 수 없음을 보이며, 이는 이중 격자 행동에 대한 본질적인 비대칭성을 나타낸다.
• 주요 수세기 결과를 디오판틴 근사에 적용하여, 좋은 근사의 수를 변환된 상자 내의 격자점과 연결하고, $\nu$-함수를 사용해 오차 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Skriganov의 동차로 확장되는 상자에서의 격자점 수세기 정리를 약한 적합성 조건을 만족하는 격자에 대해 비동차로 확장되는 정렬된 상자로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 특히 고차원에서, 이중 격자의 함수 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$와 $\nu(\Gamma, \cdot)$ 간의 관계는 어떠한가?
• RQ3 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$가 성립하는 조건은 무엇이며, 언제 이 등식이 달성될 수 없는가?
• RQ4 개선된 오차 항 수식을 사용하여 분모의 유계성 조건이 만족될 때 디오판틴 근사의 수를 점 游수적으로 유도할 수 있는가?
• RQ5 오차 항의 정량적 의존성은 기본 격자의 디오판틴 성질, 특히 $\nu$-함수를 통해 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 논문은 비동차로 확장되는 정렬된 상자 내 격자점 수에 대해 날카운 수세기 추정을 확립한다: $\left|\#(\Gamma \cap B) - \mathrm{vol}(B)\right| \ll \frac{1}{\nu(\Gamma^\perp, T^\star)}\left(\frac{\mathrm{vol}(B)^{1-1/n}}{\sqrt{\rho}} + \frac{R^{n-1}}{\nu(\Gamma^\perp, 2^R T)}\right)$, 여기서 $R = n^2 + \log(\rho^n / \nu(\Gamma^\perp, \rho T))$이다.
• 랭크 2인 unimodular 격자에서는 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$가 성립하여 이전 결과와 직접 비교 가능하며 오차 분석이 단순화된다.
• 높은 랭크($n \geq 3$)에서는 일반적으로 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$를 $\nu(\Gamma, \cdot)$에 대해 유계로 둘 수 없으며, 이는 이러한 수세기 함수의 맥락에서 격자와 그 이중 격자 간의 구조적 비대칭성을 나타낸다.
• 주요 수세기 결과는 디오판틴 근사에 적용되어 점 游수 $|N_{\alpha,y}(\varepsilon,t) - \varepsilon t| \ll \frac{\log E}{\phi^2(E')}\cdot \frac{1}{\phi^2(E')}$를 도출한다. 여기서 $E$와 $E'$는 디오판틴 근사 함수 $\phi$에 따라 달라진다.
• 만약 $\Gamma$가 적합하다면($\mathrm{Nm}(\Gamma) > 0$), 오차 항은 $O(\log(\mathrm{vol}(B))^{n-1})$로 줄어들며, 이는 Skriganov의 원래 결과를 특수 케이스로 포함한다.
• 논문은 $\Gamma$는 약한 적합성을 만족하지만 $\Gamma^\perp$는 그렇지 않은 격자의 예를 구성하여, 일반적으로 약한 적합성 조건이 이중성에 의해 보존되지 않음을 보였다.