[논문 리뷰] On A Covariant Hamiltonian Description of Palatini's Gravity on Manifolds with Boundary

Alberto Ibort, Amelia Spivak|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 11.

Algebraic and Geometric Analysis인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중심플렉틱 기하학을 사용하여 경계를 가진 다양체 위에서 팔라티니 중력의 공변 해밀토니안 형식을 제시하며, 감소된 위상공간이 경계 데이터를 코딩하는 특별한 이sovolumetric 부분다양체를 가진 심플렉틱 다양체임을 보여준다. 이 접근법은 팔라티니 중력을 위상수학적 극한에서의 제약을 가진 게이지 이론으로 간주하여, 경계 감소와 게이지 대칭을 통해 물리적 자유도의 기하학적 기술을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A covariant Hamiltonian description of Palatini's gravity on manifolds with boundary is presented. Palatini's gravity appears as a gauge theory satisfying a constraint in a certain topological limit. This approach allows the consideration of non-trivial topological situations. The multisymplectic framework for first-order covariant Hamiltonian field theories on manifolds with boundary, developed in [Ib15], enables analysis of the system at the boundary. The reduced phase space of the system is determined to be a symplectic manifold with a distinguished isotropic submanifold corresponding to the boundary data of the solutions of the Euler-Lagrange equations.

연구 동기 및 목표

• 스pacetime의 foliation이나 lapse-shift 변수에 의존하지 않는, 명백한 일반 공변성의 해밀토니안 기술을 개발하기 위해.
• 다양체의 경계를 위상공간 내에서 기본적인 구조로 통합하여, diffeomorphism 불변성과 일관되게 하기 위해.
• 팔라티니 중력의 물리적 위상공간이 경계 데이터의 심플렉틱 감소로서 유도되며, bulk 팔라티니 제약에서 유도된 제약 조건을 보여주기 위해.
• 특히 루프 양자 중력과 관련하여 중요한 캐논ical 양자화와 호환되는 기하학적 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 경계가 있는 다양체 위에서의 제1차 공변 해밀토니안 장 이론에 대해 다중심플렉틱 형식을 사용하며, [Ib15]에서 개발된 바를 활용한다.
• 팔라티니 중력을 위상수학적 극한에서의 제약을 가진 양-밀스형 게이지 이론으로 모델링하며, 위상공간에 팔라티니 제약 조건 $P = e \wedge e$ 를 도입한다.
• 경계에서의 제약 조건을 분석하고 감소된 위상공간을 식별하기 위해 선형심플렉틱 제약 알고리즘(PCA)을 적용한다.
• 경계에서의 게이지 변환군 $\mathcal{G}_{\partial M}$ 에 의한 Marsden-Weinstein 감소를 수행하여 심플렉틱 몫 공간을 도출한다.
• 경계 데이터를 감소된 심플렉틱 위상공간 내의 이sovolumetric 부분다양체로 식별한다.
• 모멘트 맵과 코탄제이언트 리프팅을 사용하여 게이지 대칭성과 그 경계 장에 대한 작용을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 가진 다양체 위에서 팔라티니 중력의 공변 해밀토니안 형식을 어떻게 일관되게 정의할 수 있으며, diffeomorphism 불변성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 경계는 팔라티니 중력의 물리적 위상공간을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가? 기하학적으로 어떻게 표현되는가?
• RQ3 경계가 존재하는 상황에서 팔라티니 제약 조건 $e \wedge e = 0$ 이 위상공간의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 팔라티니 중력의 감소된 위상공간이 경계에서의 게이지 감소로부터 유도된 심플렉틱 다양체로 기술될 수 있는가?
• RQ5 경계 데이터와 이론의 물리적 자유도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 팔라티니 중력의 감소된 위상공간은 게이지 군 $\mathcal{G}_{\partial M}$ 의 작용 하에 경계 데이터의 Marsden-Weinstein 감소를 통해 얻어진 심플렉틱 다양체이다.
• 물리적 해는 감소된 위상공간 내의 이sovolumetric 부분다양체에 포함되며, 이는 오비탈-라그랑주 방정식의 해에 대한 경계 데이터에 해당한다.
• 경계 코탄제이언트 번들 $T^{*}\mathcal{F}_{\partial M}$ 는 선형심플렉틱 구조를 지니며, 제약 표면은 공심플렉틱이며 일관된 감소가 가능하다.
• 모멘트 맵 $\mathcal{J}(a,p) = -d_a^*p$ 는 제약 표면 $\mathcal{J}^{-1}(0)$ 이 게이지 작용의 핵심임을 식별하여 심플렉틱 몫 구조를 가능하게 한다.
• 시스템의 물리적 자유도는 모두 경계에 의해 결정되며, 부스러기 제약 조건 $e \wedge e = 0$ 이 위상공간 기하학을 정의하는 데 중심적인 역할을 한다.
• 이 형식은 lapse와 shift를 사용하지 않으며, $\mathbb{R} \times S$ 시공간 위상이 필요하지 않아, ADM에 비해 더 일반적인 형태이다.