[논문 리뷰] On a diffuse interface model for tumour growth with non-local interactions and degenerate mobilities

Sergio Frigeri, Kei Fong Lam외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 10.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 35인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비가역성 이동도와 특이 포텐셜을 갖는 종양 성장에 대한 비국소적 확산 인터페이스 모델을 제안하며, 고전적 Ginzburg–Landau 에너지를 비국소적 상호작용 커널로 대체한다. 비가역성 이동도와 특이 포텐셜 조건 하에서 약한 해의 잘 정의됨을 확립하고, 추가적인 가정 하에 초기 자료에 대한 연속적 의존성을 증명하여, 순서 변수에 생물학적으로 관련된 제약 조건이 있는 비국소적 설정으로 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We study a non-local variant of a diffuse interface model proposed by Hawkins--Darrud et al. (2012) for tumour growth in the presence of a chemical species acting as nutrient. The system consists of a Cahn--Hilliard equation coupled to a reaction-diffusion equation. For non-degenerate mobilities and smooth potentials, we derive well-posedness results, which are the non-local analogue of those obtained in Frigeri et al. (European J. Appl. Math. 2015). Furthermore, we establish existence of weak solutions for the case of degenerate mobilities and singular potentials, which serves to confine the order parameter to its physically relevant interval. Due to the non-local nature of the equations, under additional assumptions continuous dependence on initial data can also be shown.

연구 동기 및 목표

• 대칭 커널 $ J $ 를 기반으로 한 비국소적 상호작용 에너지로 국소적 Ginzburg–Landau 에너지를 대체하여, 확산 인터페이스 종양 성장 모델의 비국소적 변종을 개발한다.
• 순서 변수가 물리적으로 관련된 구간 $[-1,1]$ 내에 있도록 제약을 두는 비가역성 이동도와 특이 포텐셜 조건 하에서 시스템의 잘 정의됨을 분석한다.
• 화학적 침착 및 활성 운반에 기인하는 교차 확산 항을 포함하는 국소적 Cahn–Hilliard 시스템에서의 존재성 및 연속적 의존성 결과를 비국소적 설정으로 확장한다.
• 비국소적 설정에서 추가적인 정규성 가정 하에 초기 자료에 대한 연속적 의존성을 확립하며, 비국소적 연산자의 구조를 활용한다.

제안 방법

• 화학적 포텐셜 내의 라플라스 연산자를 비국소적 연산자 $ J \star \varphi $ 로 대체하여 비국소적 Cahn–Hilliard–반응-확산 시스템을 수립한다. 이는 장거리 세포 간 점착을 모델링한다.
• 순서 변수 $ \varphi \in [-1,1] $ 를 표현하는 종양세포 및 건강세포 부피 분율을 유지하기 위해 $ \pm 1 $ 에서 같은 최솟값을 갖는 특이 포텐셜 $ \Psi $ 를 사용한다.
• 상분리 영역에서 이동도가 감소하는 것을 반영하기 위해 비가역성 이동도 $ m(\varphi) $ 와 $ n(\varphi) $ 를 도입한다.
• 변분 형식과 갈레르킨 근사를 적용하여 약한 해를 도출하고, 에너지 추정과 컴팩턴스 추론을 사용한다.
• 비국소성의 에너지 구조를 다루기 위해 비국소적 연산자 $ \mathcal{N}^{-1} $ 를 활용하고 사전 추정을 유도한다.
• Gronwall의 부등식과 Young의 부등식을 사용하여 초기 자료에 대한 연속적 의존성을 증명하며, 비국소적 커널의 유계성과 이동도의 리프시츠 연속성에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역성 이동도와 특이 포텐셜을 갖는 비국소적 확산 인터페이스 종양 성장 모델이 약한 의미에서 잘 정의되어 있음을 입증할 수 있는가?
• RQ2 비국소적 구조는 비가역성 이동도와 특이 포텐셜이 존재하는 상황에서도 초기 자료에 대한 연속적 의존성을 보장하는가?
• RQ3 비국소적 상호작용 커널 $ J $ 는 국소적 경우와 비교해 에너지 구조와 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비국소적 항 $ J \star \varphi $ 는 해를 안정화시키고 $ \varphi $ 에 물리적 제약 조건을 강제하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이동도가 상변화 경계 $ \pm 1 $ 에서 비가역성이 되는 경우, 생물학적 현실성 요구 조건을 충족하면서도 약한 해의 존재성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비가역성 이동도와 특이 포텐셜을 갖는 비국소적 확산 인터페이스 종양 모델에 대해 약한 해의 존재성을 확립하여 순서 변수가 $[-1,1]$ 내에 유지됨을 보장한다.
• 잘 정의됨 결과는 비국소적 설정으로 확장되어 부드러운 포텐셜과 비가역성이 없는 이동도 조건 하에서 약한 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 추가적인 가정 하에 초기 자료에 대한 연속적 의존성이 증명되었으며, 이는 비국소적 구조와 커널 $ J $ 의 유계성에 기반한다.
• 에너지 추정은 비국소적 연산자 $ \mathcal{N}^{-1} $ 를 사용하여 유도되었고, 시스템의 안정성은 $ \|\varphi\|_{V'}^2 + \|\sigma\|_{V'}^2 $ 를 포함하는 미분 부등식에 대해 Gronwall의 부등식을 적용하여 입증되었다.
• 비국소적 항 $ J \star \varphi $ 는 표면 장력 유사 효과를 기여하고, 세포 점착 및 공간 재분포를 포착하는 데 모델의 능력을 향상시킨다.
• 분석 결과 비국소적 모델이 상변화 및 인터페이스 정규화와 같은 핵심 물리적 특성을 유지하면서도 비가역성 이동도와 특이 포텐셜을 허용함을 확인하였다.