[논문 리뷰] On a fully fuzzy framework for minimax mixed integer linear programming

Manuel Arana‐Jiménez, Víctor Blanco|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 20.

Facility Location and Emergency Management인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 퍼지 수의 최소 상한값 개념을 도입하여 완전히 퍼지된 최소최대 혼합정수선형계획문제를 해결하기 위한 완전히 퍼지적 프레임워크를 제안한다. 이를 통해 완전히 퍼지된 최소최대 문제를 등가의 삼목적 혼합정수계획문제로 재구성할 수 있다. 이 방법은 전통적인 최소최대 최적화를 퍼지 환경으로 확장하며, 용량 제약이 있는 중심 시설 위치 문제에 적용되어, 퍼지 해가 구조적 및 비용 분포 측면에서 날것의 해와 상당히 다를 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this work, we present a modeling framework for minimax mixed 0-1 fuzzy linear problems. It is based on extending the usual rewriting of crisp minimax problems via auxiliary variables to model the maximum of a finite set of fuzzy linear functions. We establish that the considered problem can be equivalently formulated as a multiple objective mixed integer programming problem. The framework is applied to a fully fuzzy version of the capacitated center facility location problem.

연구 동기 및 목표

• 모든 매개변수와 변수가 퍼지 수인 상황에서 완전히 퍼지된 불확실성 하에 최소최대 혼합정수선형계획문제를 해결하기 위한 종합적인 프레임워크를 개발하는 것.
• 일반적으로 날것의 문제에 적용되는 전통적인 최소최대 최적화를 퍼지 수 산술과 퍼지 집합의 구조적 성질을 활용하여 완전히 퍼지 환경으로 확장하는 것.
• 완전히 퍼지된 최소최대 문제를 등가의 삼목적 혼합정수계획문제로 재구성하여 기존 다목적 최적화 기법의 활용을 가능하게 하는 것.
• 용량 제약이 있는 중심 시설 위치 문제와 같은 실제 문제에 이 프레임워크를 적용하여, 수요, 용량, 비용 매개변수를 퍼지 수로 모델링하는 것.
• 퍼지 해가 상황에 따라 시설 구성과 비용 분포 측면에서 날것의 해와 상당히 다를 수 있음을 보여주는 것. 이는 목표 함수의 상한값이 동일한 경우에도 마찬가지로 성립한다.

제안 방법

• 유한한 퍼지 수 집합에 대한 최소 상한값 개념을 도입하여, 날것의 최소최대 문제에서 최댓값에 대응하는 퍼지 수의 대체 개념으로 사용한다.
• 불확실한 매개변수와 변수를 삼각 퍼지 수로 표현하며, 비음성 조건을 가정하고 곱셈 및 비교 연산에 표준 퍼지 산술을 적용한다.
• 퍼지 목표 함수의 최소 상한값을 나타내는 보조 퍼지 변수를 도입하여 완전히 퍼지된 최소최대 문제를 재구성한다.
• 원래의 완전히 퍼지된 최소최대 문제와 삼목적 혼합정수계획문제 사이의 등가성을 확립하며, 이는 퍼지 목표 함수의 하한, 중앙값, 상한을 포함한다.
• 계층적 최적화 기법(예: Gurobi)을 활용하여 삼각 퍼지 목표 함수의 세 구성요소를 순차적으로 최적화함으로써 퍼지 해를 생성한다.
• 용량 제약이 있는 중심 시설 위치 문제에 이 프레임워크를 적용하여 수요, 용량, 설치비, 운송비를 삼각 퍼지 수로 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 매개변수와 변수가 퍼지 수인 상황에서, 전통적인 최소최대 전략(함수 집합의 최대값을 최소화하는 것)을 어떻게 완전히 퍼지 환경으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 최소최대 문제에서 최댓값의 적절한 퍼지 대체 개념은 무엇이며, 어떤 구조적 성질을 지니는가?
• RQ3 완전히 퍼지된 최소최대 혼합정수선형계획문제를 다목적 혼합정수계획문제로 재구성할 수 있는가? 만약 가능하면, 그 방법은 무엇인가?
• RQ4 완전히 퍼지된 최소최대 문제의 해는 날것의 해와 비교해 시설 구성과 비용 분포 측면에서 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 퍼지 불확실성이 용량 제약이 있는 중심 시설 위치 문제와 같은 위치 문제의 최적 해 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크는 완전히 퍼지된 최소최대 혼합정수선형계획문제를 삼목적 혼합정수계획문제로 등가로 재구성할 수 있으며, 이 세 목표는 퍼지 목표 함수의 하한, 중앙값, 상한에 대응한다.
• 퍼지 수 집합의 최소 상한값은 퍼지 최소최대 문제에서 최댓값의 적절한 일반화로 나타나며, 재구성에 기여하는 잘 정의된 구조적 성질을 지닌다.
• 용량 제약이 있는 중심 시설 위치 문제에서, 퍼지 해는 상한값이 동일한 경우에도 날것의 해와는 다른 시설 구성과 수요 할당을 보인다.
• 그림 5의 해 (a)와 (b)는 동일한 퍼지 목표 값 ˜θ∗ = (1399.70, 2629.27, 3463.01)을 공유하며, 이는 최소최대 목표가 오직 상한값에 의존하며, 나머지 비용에 대한 제약 조건으로 작용한다는 것을 확인한다.
• 퍼지 해는 날것의 할당이 아니며, 각 시설이 제공하는 수요의 양은 삼각 퍼지 수로 표현되며, 이는 시스템 내 불확실성을 반영한다.
• 이 프레임워크는 원래 문제의 NP-난이도 복잡성을 유지하지만, 특정 인코딩 조건 하에 정수 변수의 수가 고정되어 있을 경우 다항 시간 내에 해를 구할 수 있다.