[논문 리뷰] On a Generalization for Quaternion Sequences

Serpil Halıcı|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 23.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 피보나치, 루카스, 펠, 야콥스탈 허담 등 기존에 알려진 수열을 통합하고 확장하는 일반화된 허담 허문수열을 도입한다. 매개변수를 가진 두 번째 차수 선형 재귀를 정의함으로써, 저자들은 폐쇄형 빈트 공식, 생성함수, 카시니 항등식, 합공식 및 노름 표현식을 유도하며, 이는 이전에 알려진 모든 허문수열이 이 일반적 프레임워크의 특수한 경우임을 보여준다.

ABSTRACT

In this study, we introduce a new classes of quaternion numbers. We show that this new classes quaternion numbers include all of quaternion numbers such as Fibonacci, Lucas, Pell, Jacobsthal, Pell-Lucas, Jacobsthal-Lucas quaternions have been studied by many authors. Moreover, for this newly defined quaternion numbers we give the generating function, norm value, Cassini identity, summation formula and their some properties.

연구 동기 및 목표

• 피보나치, 루카스, 펠, 야콥스탈 허문수열과 같은 기존의 허문수열들을 하나의 통합된 프레임워크로 일반화하기.
• 임의의 초기값과 매개변수를 가진 허담 재귀 관계를 기반으로 새로운 허문수열 클래스인 허담 허문수열을 정의하기.
• 이 일반화된 허문수열에 대한 기본 성질, 즉 빈트 공식, 생성함수, 카시니 항등식, 합공식 및 노름 표현식을 도출하기.
• 이전에 연구된 모든 허문수열이 이 일반화된 허담 허문수열 프레임워크의 특수한 경우임을 보여주기.

제안 방법

• 초기값 $ W_0 = a $, $ W_1 = b $ 와 함께 재귀 관계 $ W_n = pW_{n-1} + qW_{n-2} $ 를 따르는 $ W_n $ 을 사용하여 허담 허문수열을 $ Q_{w,n} = W_n + iW_{n+1} + jW_{n+2} + kW_{n+3} $ 로 정의한다.
• 특성 방정식 $ x^2 - px - q = 0 $ 의 근 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 를 포함하는 피보나치 유형 함수 $ T_n $ 을 사용하여 $ W_n $ 의 빈트 공식을 $ W_n = bT_n + aqT_{n-1} $ 로 도출한다.
• 기초가 되는 허담 수열의 생성함수를 사용하여 허담 허문수열의 생성함수를 수립한다.
• 재귀와 빈트 공식의 대수적 변환을 통해 허담 허문수열의 카시니 항등식을 증명한다.
• 노름 표현식 $ Nr^2(Q_{w,n}) = \frac{1}{p^2 + 4q}(b^2A + 2abqB + a^2q^2C) $ 를 유도하며, 여기서 $ A, B, C $ 는 $ \alpha^n, \beta^n $ 과 $ (-q)^n $ 에 대한 명시적 표현이다.
• 특정 값 $ a, b, p, q $ 를 일반 공식에 대입하여 기존의 허문수열(예: 피보나치, 펠, 야콥스탈)이 특수한 경우로 포함됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피보나치, 루카스, 펠, 야콥스탈 허문수열과 같은 기존 수열들을 통합할 수 있는 단일 일반화된 허문수열을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 일반화된 허문수열에 대한 폐쇄형 표현식(빈트 공식, 생성함수)은 무엇인가?
• RQ3 카시니의 항등식과 합공식과 같은 기본 항등식들이 이 프레임워크에서 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 일반화된 허담 허문수열의 노름 표현식은 무엇이며, 이는 어떻게 알려진 경우로 축소되는가?
• RQ5 일반화된 프레임워크가 이전에 연구된 모든 허문수열을 특수한 경우로 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 허담 허문수열 프레임워크는 매개변수 $ a, b, p, q $ 를 변화시킴으로써 피보나치, 루카스, 펠, 펠-루카스, 야콥스탈, 야콥스탈-루카스 허문수열 등 모든 알려진 허문수열을 특수한 경우로 일반화한다.
• 허담 허문수열의 빈트 공식은 $ Q_{w,n} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( A\underline{\alpha}\alpha^{n+1} - B\underline{\beta}\beta^{n+1} \right) $ 로 유도되며, 여기서 $ \underline{\alpha}, \underline{\beta} $ 는 특성 근의 켤레이다.
• 허담 허문수열의 생성함수는 $ G(x) = \frac{W_0 + (W_1 - pW_0)x}{1 - px - qx^2} $ 로 표현되며, 기초가 되는 허담 수열의 생성함수를 확장한다.
• 허담 허문수열의 카시니 항등식은 $ Q_{w,n}Q_{w,n-1} = Q_{w,n-1}Q_{w,n} + \text{노름과 재귀 항목을 포함하는 일부 표현식} $ 으로 확립되며, 고전적 항등식을 일반화한다.
• 허담 허문수열의 노름은 $ Nr^2(Q_{w,n}) = \frac{1}{p^2 + 4q}(b^2A + 2abqB + a^2q^2C) $ 로 주어지며, $ A, B, C $ 는 $ \alpha^n, \beta^n $ 과 $ (-q)^n $ 에 대해 명시적으로 정의된다. 이 표현식은 특수화될 경우 기존의 노름 공식으로 축소된다.
• 합공식 $ \sum_{k=0}^{n} Q_{w,k} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( \frac{B\underline{\beta}\beta^{n+1}}{1 - \beta} - \frac{A\underline{\alpha}\alpha^{n+1}}{1 - \alpha} \right) + K $ 는 피보나치, 펠, 야콥스탈 허문수열에 대한 기존의 합공식을 일반화한다.