[논문 리뷰] On a Hardy-Littlewood theorem

Elijah Liflyand, Ulrich Stadtmüller|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 07.

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한 줄 요약

이 논문은 실수선 상의 함수에 대해 푸리에 급수의 절대수렴에 관한 고전적 하디-리틀우드 정리를 확장한다. 만약 함수와 그 공액 함수(수정된 힐버트 변환을 통해 정의됨)가 모두 유계 변동성을 가지며 무한대에서 0으로 수렴한다면, 그 푸리에 변환은 적분 가능하다는 것을 증명한다. 이 결과는 하디 유형 부등식과 실수선 상의 하드이 공간 $ H^1(\mathbb{R}) $ 를 사용하여 도출되며, 원래의 주기적 정리는 함수가 컴act 지지를 가질 경우의 특수한 경우로 나타난다.

ABSTRACT

A known Hardy-Littlewood theorem asserts that if both the function and its conjugate are of bounded variation, then their Fourier series are absolutely convergent. It is proved in the paper that the same result holds true for functions on the whole axis and their Fourier transforms with certain adjustments. The proof of the original Hardy-Littlewood theorem is derived from the obtained assertion. It turned out that the former is a partial case of the latter when the function is supposed to be of compact support. A similar result as the obtained one but for radial functions is derived from the one-dimensional case.

연구 동기 및 목표

• 고전적 하디-리틀우드 정리의 실수선 상의 함수에 대한 절대수렴 푸리에 급수를 일반화한다.
• 실수선 상의 함수의 푸리에 변환의 $ L^1 $-적분 가능성을 보장하는 조건을 설정하며, 푸리에 급수 수렴 조건을 $ L^1 $-적분 가능성으로 대체한다.
• 함수가 컴팩트 지지를 가질 경우 원래의 하디-리틀우드 정리가 새로운 결과의 특수한 경우로 나타남을 보인다.
• 일차원 결과를 레라의 공식과 일차원 이론을 활용하여 고차원에서의 원형 함수로 확장한다.

제안 방법

• 유계 함수에 대해 존재를 보장하기 위해 수정된 힐버트 변환 $ \widetilde{f}(x) $ 를 정의하며, 보정 항 $ \frac{t}{1+t^2} $ 를 포함한다.
• 레바그 점에서 거의 everywhere 에서 $ \frac{d}{dx}\widetilde{f}(x) = \mathcal{H}f'(x) $ 라는 항등식을 적용하며, 부분 적분과 국소적 절대 연속성에 기반한다.
• 함수 $ f $ 와 $ \widetilde{f} $ 가 유계 변동성을 가지므로 $ f' \in H^1(\mathbb{R}) $ 를 확인하기 위해 $ \|f'\|_{L^1} + \|\mathcal{H}f'\|_{L^1} < \infty $ 를 검증한다.
• 하디 유형 부등식 $ \int_{\mathbb{R}} \frac{|\widehat{f'}(x)|}{|x|} dx \leq \|f'\|_{H^1} $ 을 활용하여 푸리에 변환의 $ L^1 $-노름과 $ H^1 $-노름을 연결한다.
• $ \widehat{\mathcal{H}f'}(x) = i \operatorname{sign}(x) \widehat{f'}(x) $ 라는 관계를 사용하여 $ \widetilde{f} $ 의 푸리에 변환과 $ \widehat{f'} $ 를 연결함으로써 $ \widehat{\widetilde{f}} $ 의 $ L^1 $-적분 가능성을 확보한다.
• 원형 함수의 레라의 공식을 적용하여 다차원 푸리에 변환을 일차원 진동적 적분으로 환원하고, 그 결과로 얻어진 커널 함수에 주요 정리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수선 상의 함수 $ f $ 에 대해 그 푸리에 변환 $ \widehat{f} $ 가 언제 적분 가능할까?
• RQ2 고전적 하디-리틀우드 정리의 푸리에 급수 절대수렴에 대한 결과가 실수선 상의 더 넓은 결과의 특수한 경우로 유도될 수 있는가?
• RQ3 표준 힐버트 변환이 존재하지 않을 수 있는 비주기적, 유계 변동성 함수에 대해 공액 함수 개념을 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ4 고차원 $ \mathbb{R}^n $ 에서의 원형 함수의 푸리에 변환이 르베그 적분 가능하기 위한 조건은 그 원형 프로파일의 일차원 성질에 의해 어떻게 보장되는가?
• RQ5 $ H^1(\mathbb{R}) $ 공간과 하디 유형 부등식은 고전적 푸리에 해석 결과를 비주기적 설정으로 확장하는 데 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• 함수 $ f $ 가 실수선 상에서 유계 변동성을 가지며 무한대에서 0으로 수렴하고, 그 공액 함수 $ \widetilde{f} $ 도 유계 변동성을 가진다면, $ \widehat{f} $ 와 $ \widehat{\widetilde{f}} $ 는 모두 실수선 상에서 적분 가능하다.
• 공액 함수의 도함수는 거의 모든 곳에서 $ \frac{d}{dx}\widetilde{f}(x) = \mathcal{H}f'(x) $ 를 만족하며, 이는 $ H^1(\mathbb{R}) $ 공간과의 연결에 필수적이다.
• 주어진 조건 하에서 $ f' $ 는 실수선 상의 하드이 공간 $ H^1(\mathbb{R}) $ 에 속한다. 이는 $ \|f'\|_{L^1} $ 과 $ \|\mathcal{H}f'\|_{L^1} $ 이 모두 유한하기 때문이다.
• 하디 유형 부등식 $ \int_{\mathbb{R}} \frac{|\widehat{f'}(x)|}{|x|} dx \leq \|f'\|_{H^1} $ 는 $ \|\widehat{f}\|_{L^1} \leq \|f'\|_{H^1} $ 를 유도하며, 이는 $ \widehat{f} $ 의 적분 가능성을 보장한다.
• 함수가 컴팩트 지지를 가질 경우 원래의 하디-리틀우드 정리는 특수한 경우로 복원되며, 이 경우 수정된 힐버트 변환은 표준 힐버트 변환으로 줄어들고, 컴팩트 지지를 가진 함수의 푸리에 변환은 적분 가능하다.
• 고차원 $ \mathbb{R}^n $ 에서의 원형 함수에 대해, 관련 커널 $ I(t) $ 의 $ (n-1) $-번째 도함수가 일차원 정리의 조건을 만족한다면, $ f $ 의 다차원 푸리에 변환은 적분 가능하다.