[논문 리뷰] On a Heath-Jarrow-Morton approach for stock options

Jan Kallsen, Paul Krühner|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국채 옵션 가격 표면을 모델링하기 위해 시간 비균일 Lévy 과정을 국지 변동성 모델 대신 사용하는 Heath-Jarrow-Morton (HJM) 프레임워크를 제안한다. 비상업적 거래의 부재를 위한 필요 및 충분 조건을 수립하고, 기본 구성 요소가 주어졌을 때 비상업적 모델의 존재성과 유일성을 증명함으로써, 주식 옵션 분야에서 이전의 HJM 접근법보다 더 유연하고 점프에 강건한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

This paper aims at transferring the philosophy behind Heath-Jarrow-Morton to the modelling of call options with all strikes and maturities. Contrary to the approach by Carmona and Nadtochiy (2009) and related to the recent contribution Carmona and Nadtochiy (2012) by the same authors, the key parametrisation of our approach involves time-inhomogeneous Lévy processes instead of local volatility models. We provide necessary and sufficient conditions for absence of arbitrage. Moreover we discuss the construction of arbitrage-free models. Specifically, we prove their existence and uniqueness given basic building blocks.

연구 동기 및 목표

• 모든 행사가격과 만기일에 걸친 콜 옵션 가격의 전체 표면을 모델링하기 위한 종합적인 HJM 유형의 프레임워크를 개발하는 것.
• 국지 변동성 기반의 이전 HJM 모델의 이론적 한계를 해결하기 위해 이를 시간 비균일 Lévy 과정으로 대체하는 것.
• 결과적으로 도출된 옵션 가격 표면 모델에서 비상업적 거래의 부재를 위한 필요 및 충분 조건을 수립하는 것.
• 기본 구성 요소에 대한 일반적인 가정 하에 비상업적 모델의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 점프를 수용할 수 있으며 특히 단기 옵션에 특히 관련성이 높은 더 유연하고 강건한 모델링 접근법을 제공하는 것.

제안 방법

• 모델은 시간 비균일 Lévy 과정을 핵심 확률적 운반체로 사용하여 옵션 가격 표면을 매개변수화한다.
• 비상업적 거래의 부재를 보장하는 드리프트 조건을 유도하며, 이를 Lévy 설정으로 일반화한 HJM 드리프트 제약 조건을 확장한다.
• 서브오르디네이터에 의해 구동되는 프리셰트 공간 내의 확률적 미분 방정식에 기반하여, 무한차원 상태 역학을 가능하게 한다.
• 보흐너 적분과 팩터 맵핑을 사용한 유한차원 근사에 대한 극한 절차를 통해 존재성과 유일성을 증명한다.
• 상태 공간의 인수분해를 통해 무한차원 SDE를 유한차원 문제의 시퀀스로 감소시킨다.
• 프레임워크는 바른도르프-니엘슨과 셰파드의 확률적 변동성 모델과 연결된 구체적인 예시를 통해 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 HJM 철학은 시간 비균일 Lévy 과정을 사용하여 주식 옵션의 전체 표면을 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 이러한 모델에서 드리프트 및 변동성 구조에 대한 어떤 조건이 비상업적 거래의 부재를 보장하는가?
• RQ3 이 프레임워크에서 기본 구성 요소로부터 비상업적 옵션 표면 모델을 유일하게 구성할 수 있는가?
• RQ4 Lévy 기반 매개변수화 방식은 국지 변동성 모델에 비해 어떤 면에서 더 뛰어난가?
• RQ5 제안된 모델은 바른도르프-니엘슨과 셰파드와 같은 기존의 확률적 변동성 모델과 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 논문은 옵션 가격 표면 모델에서 비상업적 거래의 부재를 위한 필요 및 충분 조건을 수립하였으며, 이를 Lévy 설정으로 일반화한 HJM 드리프트 조건을 확장하였다.
• 입력 구성 요소에 대한 미약한 정규성 조건 하에, 옵션 표면을 지배하는 무한차원 SDE의 해가 존재하고 경로 유일성이 증명되었다.
• 모델 프레임워크는 점프를 수용할 수 있으며, 특히 단기 만기 옵션에 매우 적합하여 국지 변동성 모델의 핵심 한계를 해결한다.
• 바른도르프-니엘슨과 셰파드의 확률적 변동성 모델과 대응하는 구체적인 예시가 구성되었으며, 이는 프레임워크의 타당성과 기존 모델과의 일致성을 검증한다.
• 모든 옵션 표면를 상태 변수로 통합함으로써 빈번한 재보정이 필요 없어지며, 이는 이론적 일관성을 향상시킨다.
• 해는 유한차원 근사에 대한 극한 절차를 통해 구성되었으며, 프리셰트 공간 위상에서 수렴성을 보장한다.