[논문 리뷰] On a higher order multi-term time-fractional partial differential equation involving Caputo-Fabrizio derivative

Sardor Pirnapasov, Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 18.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 분리 변수법과 부분 적분을 이용하여 Caputo-Fabrizio 도수를 갖는 고차 다항 시간 분수형 PDE를 등가의 정수계수 PDE로 감소시키는 방법을 제안한다. 특정 부드러움 조건과 초기 조건 하에서 경계값 문제의 유일한 해법과 푸리에 급수 해의 균일 수렴성을 확립하며, k=2인 경우에 대해 이론적 적용을 제시한다.

ABSTRACT

In the present work we discuss higher order multi-term partial differential equation (PDE) with the Caputo-Fabrizio fractional derivative in time. We investigate a boundary value problem for fractional heat equation involving higher order Caputo-Fabrizio derivatives in time-variable. Using method of separation of variables and integration by parts, we reduce fractional order PDE to the integer order. We represent explicit solution of formulated problem in particular case by Fourier series.

연구 동기 및 목표

• Caputo-Fabrizio 도수를 갖는 고차 다항 시간 분수형 PDE를 등가의 정수계수 PDE로 감소시키는 체계적인 방법을 개발한다.
• 시간에 대한 Caputo-Fabrizio 도수를 포함하는 분수형 열 방정식에 대한 경계값 문제의 유일한 해법을 증명한다.
• 특정 정규성 및 초기 조건 제약 조건 하에서 해의 푸리에 급수 표현의 균일 수렴성을 확립한다.
• Caputo-Fabrizio 도수의 적용 범위를 수학적 물리학 분야의 고차 및 다항 분수형 PDE로 확장한다.

제안 방법

• 공간에 대한 푸리에 급수로 해를 분해하기 위해 분리 변수법을 활용한다: $ u(t,x) = \sum_{m=1}^{\infty} T_m(t) \sin m\pi x $.
• Caputo-Fabrizio 도수에 대해 부분 적분을 적용하여 $ {}_{CF}D_{0t}^{\alpha+n}T_m(t) $의 명시적 표현을 $ T_m^{(i)}(t) $, $ T_m^{(i)}(0) $ 및 컨볼루션 적분으로 유도한다.
• 대수적 조작을 통해 분수계수 도수를 제거함으로써 $ T_m(t) $에 대한 분수계수 초기값 문제를 등가의 정수계수 미분방정식 시스템으로 감소시킨다.
• 해의 계수 $ C_j $ 에 대한 bound 를 유도하기 위해 $ f_{4,0}(t), f_{4,1}(t), f_{4,2}(t) $ 의 적분을 포함하는 추정을 사용한다. 이들은 $ f(t,x) $ 의 네 번째 공간 도수에서 유도된다.
• 수렴성을 보장하기 위해 $ f(t,x) $ 에 대해 $ t=0 $ 에서의 세 번째 시간 도수와 두 번째 공간 도수의 값이 0이 되도록 조건을 설정한다.
• 푸리에 급수 해의 균일 수렴성을 증명하기 위해 $ |T_m(t)| \leq \frac{M_{20}}{(m\pi)^4} $ 를 유도함으로써 해가 잘 정의되고 연속적임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Caputo-Fabrizio 도수를 갖는 고차 다항 시간 분수형 PDE는 체계적으로 등가의 정수계수 PDE 시스템으로 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 소스 함수 $ f(t,x) $ 가 어떤 조건을 만족해야 분수형 PDE의 푸리에 급수 해가 균일 수렴하는가?
• RQ3 Caputo-Fabrizio 분수형 도수의 맥락에서 다수의 시간 도수를 포함하는 초기 조건은 어떻게 일관되게 다룰 수 있는가?
• RQ4 Caputo-Fabrizio 도수의 비특이 핵이 등가의 정수계수 시스템으로의 감소를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 Caputo-Fabrizio 시간 도수를 갖는 분수형 열 방정식에 대한 경계값 문제의 해는 유일하며, 균일 수렴하는 푸리에 급수로 표현 가능한가?

주요 결과

• k=2인 경우 경계값 문제 (2)–(4)의 해는 $ u(t,x) = \sum_{m=1}^{\infty} T_m(t) \sin m\pi x $ 형태의 푸리에 급수로 유일하게 표현되며, 여기서 $ T_m(t) $ 는 감소된 정수계수 상미분방정식 시스템을 만족한다.
• 해의 푸리에 급수 해의 균일 수렴성이 $ f(t,x) \in C^2(\overline{\Omega}) $ 이고 $ \partial^3 f / \partial t^3 \in C(\Omega \cup \{t=0\}) $ 라는 조건 하에서 증명되었으며, $ t=0 $ 과 $ x=0,1 $ 에서 $ f $ 와 그 도수에 대한 추가 제약 조건이 있다.
• 해의 표현식에 나타나는 계수 $ C_j $ 는 $ |C_j| \leq M_1 |d_1| + M_2 |d_2| + M_3 |d_3| $ 로 bound 되며, $ d_1, d_2, d_3 $ 는 $ f_{4,0}, f_{4,1}, f_{4,2} $ 의 적분을 포함하여 유한성을 보장한다.
• 해는 $ |T_m(t)| \leq \frac{M_{20}}{(m\pi)^4} $ 를 만족하며, 이는 $ |u(t,x)| \leq \frac{M_{21}}{(m\pi)^4} $ 를 의미하여 급수 항의 감쇠율을 확인한다.
• Caputo-Fabrizio 도수의 비특이 핵 덕분에 부분 적분을 통해 정수계수 시스템으로의 깔끔한 감소가 가능하여 고차 다항 분수형 PDE의 해석적 다루기가 가능해진다.
• 이 방법은 일반적인 $ k \in \mathbb{N}_0 $ 로 확장 가능하며, 해의 구조는 판별식 $ \Delta_m $ 의 부호에 따라 달라지며, 분수형 도수를 포함하는 스펙트럼 문제에 적응 가능하다.