[논문 리뷰] On a Kirchhoff type problems with potential well and indefinite potential

Yuanze Wu, Yisheng Huang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 13.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^3$에서 비정상적인 위치 에너지와 위치 에너지 우물이 있는 키르히호프 유형 문제를 다루며, 변분 방법을 사용하여 $4 < p < 6$일 때 비자명한 해의 존재성을 확립한다. 해가 매개수 $\lambda \to +\infty$일 때 위치 에너지 우물에 집중됨을 증명하며, 비국소 항을 포함한 비정상적 경우에 대해 이러한 문제에 대한 첫 번째 존재 결과를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the following Kirchhoff type problem:% $$ \left\{\aligned&amp;-\bigg(α\int_{\bbr^3}| abla u|^2dx+1\bigg)Δu+(λa(x)+a_0)u=|u|^{p-2}u&amp; ext{ in }\bbr^3,\\% &amp;u\in\h,\endaligned ight.\eqno{(\mathcal{P}_{α,λ})}% $$ where $4

연구 동기 및 목표

• 비정상적인 위치 에너지와 위치 에너지 우물을 갖는 $\mathbb{R}^3$에서의 키르히호프 유형 문제에 대한 비자명한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 매개수 $\lambda \to +\infty$일 때 해의 집중 행동을 분석하는 것, 특히 급격한 위치 에너지 우물의 맥락에서.
• 변분 방법을 비정상적 경우로 확장하는 것, 여기서 위치 에너지 $a(x)$는 음이 아닌데도 $a_0$는 음수일 수 있으며, 문헌의 빈도를 메우는 것.
• 적절한 조건 하에 $a_0$와 스펙트럼 갭이 만족될 경우, $\lambda \to +\infty$일 때 해가 $H^1(\mathbb{R}^3)$에서 강한 수렴을 보이며 비자명한 극한 해로 수렴함을 증명하는 것.
• 비국소 타원 문제에 대한 비정상적인 위치 에너지를 연구하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공하는 것, 비판점 이론과 컴팩트니스 추론을 사용한다.

제안 방법

• 비국소 항 $\alpha \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2 dx$를 포함하는 변분 함수 $I_{\alpha,\lambda}(u)$를 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 공간에 정의한다.
• 산맥 정리와 에클랜드의 변분 원리를 적용하여 $I_{\alpha,\lambda}$의 임계점을 확보하고, 이는 비자명한 해에 해당함을 증명한다.
• 집중-콤팩트니스 원리와 약한 수렴 추론을 사용하여 $\lambda \to +\infty$일 때 해의 극한을 분석한다.
• 비선형성 $|u|^{p-2}u$를 제어하기 위해 $p \in (4,6)$에 대해 $H^1(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^3)$의 소볼레프 포함을 활용한다.
• 위치 에너지 우물과 비정상적인 위치 에너지를 다루기 위해 노름 $\|u\|_\lambda^2 = \int_{\mathbb{R}^3} (|\nabla u|^2 + (\lambda a(x) + a_0)^+ |u|^2) dx$를 갖는 에너지 공간 $E_\lambda$를 정의한다.
• 르베그 수렴 정리와 컴팩트 임베딩을 사용하여 $\lambda_n \to +\infty$일 때 $u_{\alpha,\lambda_n} \to u_\alpha$가 $H^1(\mathbb{R}^3)$에서 강한 수렴을 보임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적인 위치 에너지와 위치 에너지 우물을 갖는 $\mathbb{R}^3$에서의 키르히호프 유형 문제에 대해 비자명한 해가 존재하는가?
• RQ2 매개수 $\lambda \to +\infty$일 때 해는 어떻게 행동하는가, 특히 급격한 위치 에너지 우물의 존재 하에서?
• RQ3 비정상적 경우, 즉 $a_0 < 0$이고 위치 에너지 $a(x)$가 음이 아닌 경우에 변분 방법을 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ4 해가 $\lambda$ 증가에 따라 위치 에너지 우물에 집중되는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 극한 해 $u_\alpha$는 비자명한가, 그리고 이는 제한 문제 $(\mathcal{P}_\alpha^*)$를 만족하는가?

주요 결과

• 논문은 조건 $(A_1)$–$(A_3)$ 하에 $4 < p < 6$, $\alpha > 0$, $\lambda > 0$일 때 키르히호프 유형 문제 $(\mathcal{P}_{\alpha,\lambda})$에 대한 비자명한 해 $u_{\alpha,\lambda}$의 존재성을 확립한다.
• 해 $u_{\alpha,\lambda_n}$은 $\lambda_n \to +\infty$일 때 $H^1(\mathbb{R}^3)$에서 비자명한 극한 $u_\alpha$로 강한 수렴을 보이며, 이는 $a_0 \geq 0$ 또는 $a_0 < 0$이면서 $\beta_{k_0^* - 1} < 1$일 경우에 해당한다.
• 극한 해 $u_\alpha$는 제한 문제 $(\mathcal{P}_\alpha^*)$의 비자명한 해이며, 이는 $\lambda a(x)$가 그 극한 행동으로 대체된 방정식에 해당한다.
• 에너지 함수 $I_{\alpha,\lambda}$는 산맥 기하학을 갖으며, 큰 $\lambda$에 대해 세라미 조건이 확인되어 임계점의 존재를 보장한다.
• 강한 수렴성과 $\Omega = \text{int}(a^{-1}(0))$ 외부에서 $u_{\alpha,\lambda_n}$의 $L^2$-노름 감쇠를 통해 위치 에너지 우물 $\Omega$ 내에서의 해의 집중이 확인된다.
• 증명은 $\{u_{\alpha,\lambda_n}\}$이 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$에서 유계임을 바탕으로 하며, 소볼레프 포함과 코쉬-횔더 부등식을 사용하여 차이 $u_{\alpha,\lambda_n} - u_\alpha$의 $L^p$-노름을 제어한다.