[논문 리뷰] On a linear stability issue of split form schemes for compressible flows

Vikram Singh, Praveen Chandrashekar|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 30.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 압축성 유동에 대한 분할 형식 불연속 갈레르킨 스킴에서 선형 안정성 문제를 규명한다. 여기서 표준 운동에너지 보존(Kinetic Energy Preserving, KEP) 스킴은 선형화 분석에서 변동 에너지를 보존하지 못해 실패한다. 에너지 유량을 연속적인 에너지 변동 방정식과 일치하도록 수정함으로써, 저자들은 에너지 보존과 안정성을 보장하는 수정된 KEP 스킴을 제안한다. 이는 노달 DG 방법을 사용한 수치 실험을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

Split form schemes for Euler and Navier-Stokes equations are useful for computation of turbulent flows due to their better robustness. This is because they satisfy additional conservation properties of the governing equations like kinetic energy preservation leading to a reduction in aliasing errors at high orders. Recently, linear stability issues have been pointed out for these schemes for a density wave problem and we investigate this behaviour for some standard split forms. By deriving linearized equations of split form schemes, we show that most existing schemes do not satisfy a perturbation energy equation that holds at the continuous level. A simple modification to the energy flux of some existing schemes is shown to yield a scheme that is consistent with the energy perturbation equation. Numerical tests are given using a discontinuous Galerkin method to demonstrate these results.

연구 동기 및 목표

• 압축성 옹유어 방정식을 위한 분할 형식 스킴의 선형 안정성을 조사하고, 특히 변동 에너지 보존 측면에서 분석한다.
• 이론적으로 안정성이 보장되는 기존 운동에너지 보존(KEP) 스킴이 밀도 파동 문제에서 여전히 불안정성을 보이는 이유를 규명한다.
• 연속 편미분방정식의 선형화된 에너지 변동 방정식과 일치하는 수정된 KEP 유량을 유도한다.
• 노달 불연속 갈레르킨(DG) 방법을 사용한 수치 실험을 통해 향상된 안정성과 보존 성질을 검증한다.

제안 방법

• 고정밀도 파동 해를 기준으로 압축성 옹유어 방정식을 선형화하여 연속적인 변동 에너지 방정식을 유도한다.
• 가우스-로바트-레지오드 다항식 격자 위에서 노달 DG 방법을 사용하여 중심, KG, KEP 유량을 포함한 다양한 분할 형식 스킴에 대한 선형화된 반디스크리트 방정식을 유도한다.
• 각 스킴에서 변동의 에너지 변화를 분석하여 연속 에너지 방정식과의 불일치를 규명한다. 특히 변동 에너지 보존이 없는 경우를 중심으로 분석한다.
• 이산 수준에서 에너지 변동 방정식을 만족하도록 에너지 유량을 조정하여 수정된 KEP 유량을 제안함으로써 에너지 보존을 보장한다.
• 수정된 스킴을 노달 DG 프레임워크에 구현하고, 표준 분할 형식 스킴과의 안정성 및 보존 성질을 비교한다.
• 밀도 파동 문제를 사용한 수치 실험을 수행하여 고유값 안정성과 시간에 따른 에너지 변화를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 운동에너지 보존 특성을 지닌 분할 형식 스킴이 밀도 파동 문제에서는 여전히 선형 불안정성을 보이는가?
• RQ2 기존 분할 형식 스킴에서 연속적이고 이산적 에너지 변동 방정식 사이의 격차는 무엇인가?
• RQ3 선형화된 시스템에서 변동 에너지를 보존할 수 있도록 수정된 KEP 유량을 구성할 수 있는가?
• RQ4 수정된 스킴은 노달 DG 방법을 사용한 수치 시뮬레이션에서도 안정성과 보존 성질을 유지하는가?
• RQ5 고유값 안정성과 에너지 변화 측면에서 수정된 KEP 스킴은 표준 분할 형식 스킴보다 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 표준 분할 형식 스킴, 즉 KEP 및 KG 유량은 선형화된 시스템에서 변동 에너지를 보존하지 못하여 운동에너지 보존에도 불구하고 불안정성을 보인다.
• 중앙 스킴 역시 감소된 변동 에너지를 보존하지 못함으로써, 표준 콜로케이션 DG 스킴에서 에너지 보존이 본질적인 성질이 아님을 시사한다.
• 제안된 수정된 KEP 유량은 이산적 변동 에너지가 보존됨을 보장한다. 선형화된 시스템에서 총 에너지 변화가 정확히 0이 되기 때문이다.
• 수치 실험 결과, 수정된 스킴은 안정적인 고유값을 보이며, 표준 KEP 및 KG 스킴과 달리 비물리적인 변동 증가를 피함을 확인하였다.
• 수정된 스킴은 연속 방정식과 일치하는 방식으로 밀도 변동의 대류 이동을 정확히 포착하며, 부적절한 축적을 방지한다.
• 수정된 KEP 유량은 연속 에너지 원리와의 일관성을 복원하여, 밀도 파동 문제에서의 선형 안정성 문제를 해결한다.