[논문 리뷰] On a maximum of nearest-neighbor random walk with asymptotically zero drift on lattice of positive half line

Hongyan Sun, Huaming Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 26.

Probability and Risk Models참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양의 반직선 위에서 점근적으로 0에 수렴하는 이동 평균을 갖는 최근접이웃 랜덤 워크의 최대값 $ M $ 의 渐近 분포를 연구하며, 특히 Lamperti 유형의 이동 평균을 통한 전이 확률의 변동이 $ M $ 의 꼬리 행동에 미치는 영향을 분석한다. 주요 결과는 $ n \to \infty $ 일 때 $ P(M=n, D<\infty) $ 의 감쇠 속도를 특성화하며, 다항식과 지수 감쇠 사이의 중간 속도를 보이며, $ K $ 와 $ B $ 라는 매개변수에 따라 $ (n \log n \cdots \log_{K-1}n)^{-1} $ 과 같은 로그 반복 형태를 포함한다.

ABSTRACT

Consider a nearest-neighbor random walk with certain asymptotically zero drift on the positive half line. Let $M$ be the maximum of an excursion starting from $1$ and ending at $0.$ We study the distribution of $M$ and characterize its asymptotics, which is quite different from those of simple random walks.

연구 동기 및 목표

• 1에서 시작하여 0에서 흡수되는 $ \mathbb{Z}^+ $ 위의 최근접이웃 랜덤 워크에서의 최대값 $ M $ 의 분포를 이해하는 것.
• 특히 Lamperti 유형의 변동을 통한 점근적으로 0에 수렴하는 이동 평균이 $ M $ 의 꼬리 행동에 미치는 영향을 분석하며, 단순 대칭 랜덤 워크와의 비교를 포함한다.
• 매개변수 $ K $ 와 $ B $ 로 정의된 다양한 이동 평균 영역에서 $ P(M=n, D<\infty) $ 의 정확한 점근적 감쇠 속도를 특성화하는 것.

제안 방법

• 상태에 의존하는 전이 확률 $ p_n = \frac{1}{2} \pm r_n $ 으로 랜덤 워크를 모델링하며, 여기서 $ r_n $ 은 반복 로그에 기반한 점진적으로 변화하는 변동이다.
• 전이 비율 $ \rho_j = q_j / p_j $ 의 곱 $ \rho_1 \cdots \rho_j $ 을 포함하는 탈출 확률 공식을 사용하여 $ P(M=n, D<\infty) $ 를 이러한 비율의 합과 곱의 형태로 표현한다.
• 부분합 $ \sum_{j=1}^n \rho_1 \cdots \rho_j $ 의 성장률을 추정하기 위해 적분 비교 기법과 반복 로그 적분의 점근적 분석을 적용한다.
• 특히 $ x \log x \cdots (\log_{K-1}x)^B $ 를 포함하는 합에 대해 적분 근사와 단조성 논증을 이용하여 점근적 동치를 도출한다.
• 기존의 재귀성 기준과 보조정리 2 및 3 를 활용하여 $ \rho_1 \cdots \rho_n $ 과 그 누적합의 행동을 확립한다.
• 매개변수 $ K $ (로그 반복 횟수) 와 $ B $ (이동 평균 매개변수) 를 기반으로 한 사례 분석을 통해 결과를 검증하며, $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ 과 $ p_n = \frac{1}{2} - r_n $ 의 경우를 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점근적으로 0에 수렴하는 이동 평균을 갖는 최근접이웃 랜덤 워크에서 최대값 $ M $ 의 점근적 분포는 단순 대칭 랜덤 워크와 어떻게 다를까?
• RQ2 이동 평균이 $ r_n = \Lambda(K,i,B)/4 $ 를 통해 변동될 경우, $ P(M=n, D<\infty) $ 의 정확한 감쇠 속도는 무엇이며, 이는 $ K $ 와 $ B $ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 꼬리가 다항식 또는 지수 감쇠 외의 속도를 보일 수 있는가, 예를 들어 $ (n \log n \cdots \log_{K-1}n)^{-1} $ 과 같은 형태로, 어떤 조건에서 그러한 감쇠가 발생하는가?
• RQ4 랜덤 워크의 재귀성 특성(비재귀, 영재귀, 양재귀)이 $ M $ 의 점근적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 다양한 $ K $ 와 $ B $ 의 영역에서 최대값 분포를 통합적으로 묘사할 수 있는 프레임워크가 존재하는가, 특히 반복 로그 형태를 포함하여?

주요 결과

• $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ 인 경우, $ B=1 $ 일 때 꼬리 $ P(M=n, D<\infty) \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_K n)^2} $ 로서 이중 로그 감쇠를 보이며, 이는 이중 로그 감쇠를 나타낸다.
• $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ 이고 $ B>1 $ 일 경우 감쇠 속도는 $ \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_{K-1}n)^B} $ 로서 $ B>1 $ 일 때 다항식보다 느린 감쇠를 나타낸다.
• $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ 이고 $ B<1 $ 일 경우 감쇠 속도는 $ \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_{K-1}n)^{2-B}} $ 로서 지수 값이 $ B $ 에 대해 연속적으로 변화함을 보인다.
• $ p_n = \frac{1}{2} - r_n $ 일 경우 $ K=1 $ 이고 $ B>-1 $ 이면 감쇠 속도는 $ \sim \frac{c}{n^{B+2}} $ 로서 지수 $ B+2 $ 를 갖는 거듭제곱 감쇠를 보이며, 이는 거듭제곱 감쇠를 나타낸다.
• $ K=1 $ 이고 $ B=-1 $ 일 경우 감쇠 속도는 $ \sim \frac{c}{n (\log n)^2} $ 로서 어떤 거듭제곱 감쇠보다 느리지만 $ n^{-1} $ 보다는 빠르게 감쇠한다.
• $ K=1 $ 이고 $ B<-1 $ 일 경우 꼬리는 $ \sim c n^B $ 로 감쇠하며, 이는 음수 지수를 갖는 다항식 감쇠로, 무거운 꼬리 행동을 나타낸다.