[논문 리뷰] On a minimax theorem: an improvement, a new proof and an overview of its applications

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 24.

Optimization and Variational Analysis인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 두 번째 변수가 하우스도르프 위상선형공간의 볼록집합에 속하는 함수에 대한 최소최대 정리의 새로운 귀납적 증명을 제시한다. 이는 모스코니의 중간 결과에 의존하지 않고 기존 결과를 더 넓은 설정으로 확장함으로써 개선된 것으로, 최소최대 등식이 성립하거나 다수의 전역 최소값이 존재하는 조건을 확립하며, 비선형 PDE 및 변분해석에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

Theorem 1 of [14], a minimax result for functions $f:X imes Y o {\bf R}$, where $Y$ is a real interval, was partially extended to the case where $Y$ is a convex set in a Hausdorff topological vector space ([15], Theorem 3.2). In doing that, a key tool was a partial extension of the same result to the case where $Y$ is a convex set in ${\bf R}^n$ ([7], Theorem 4.2). In the present paper, we first obtain a full extension of the result in [14] by means of a new proof fully based on the use of the result itself via an inductive argument. Then, we present an overview of the various and numerous applications of these results.

연구 동기 및 목표

• 실수 구간에서의 정리 1.A를 하우스도르프 위상선형공간의 볼록집합으로 확장하기.
• 정리 1.A 자체를 기반으로 한 귀납적 추론에 기반한 확장된 최소최대 결과의 새로운 증명 제공.
• 모스코니의 정리에 의존하지 않고, 두 번째 변수에 대한 함수의 볼록성 조건을 갖는 최소최대 결과 확립.
• 비선형 해석, PDE 및 최적화 분야에서의 응용에 대한 종합적 개요 제시.
• 최소최대 프레임워크를 통해 타원형 경계값 문제에서 다수의 약한 해 존재를 보여주기.

제안 방법

• 단체 $ S_n $ 의 차원에 대한 귀납적 증명 기법 사용, 기저 사례 $ n=1 $ 로 시작.
• 높은 차원의 단체를 낮은 차원으로 연결하기 위해 연속적인 애핀 사상 $ \psi: S_k \times [0,1] \to S_{k+1} $ 구성.
• 성질을 차원 간 이행하기 위해 올린 함수 $ \tilde{f}(x, \lambda, \mu) = f(x, \psi(\lambda, \mu)) $ 정의.
• quasi-볼록성과 하부 연속성에 기반해 $ \tilde{f} $ 에 대해 귀납 가정 적용.
• 하한 컴acts와 하부 연속성의 활용으로 최소값과 최대값의 도달 보장.
• Sobolev 공간, 특히 $ H^1_0(\Omega) $ 에서의 변분문제에 주요 최소최대 결과 적용, 기능 최소화 및 변형 기법을 통한 분석.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정리 1.A 는 실수 구간에서 하우스도르프 위상선형공간의 볼록집합으로 완전히 확장될 수 있는가?
• RQ2 함수 $ f(x, \cdot) $ 의 연속성 조건이 상부 연속성으로 완화될 경우 최소최대 등식이 여전히 성립하는가?
• RQ3 모스코니의 정리에 의존하지 않고 $ \mathbb{R}^n $ 에서 최소최대 결과를 증명할 수 있는가?
• RQ4 최소최대 결과는 비선형 타원형 PDE에서 다수의 해 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $ H^1_0(\Omega) $ 에서 PDE에 관련된 함수가 적어도 두 개의 전역 최소값을 갖는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 하우스도르프 위상선형공간의 볼록집합으로 정리 1.A 를 완전히 확장함을 증명하며, $ \sup_Y \inf_X f = \inf_X \sup_Y f $ 또는 $ f(\cdot, \hat{y}) $ 가 적어도 두 개의 전역 최소값을 갖는다는 것을 보였다.
• 모스코니의 결과와 같은 외부 결과를 사용하지 않고 정리 1.A 에만 기반한 새로운 귀납적 증명이 제시되었다.
• 정리 1.2 는 정리 1.C 를 일반화하여, 상부 연속성 조건 없이도 $ f(x, \cdot) $ 가 볼록일 경우 최소최대 결과를 증명하였다.
• 최소최대 프레임워크는 킬레르프 타입 PDE의 일군에 적용되어 적어도 세 개의 약한 해 존재를 보였으며, 그 중 두 개는 전역 최소값이었다.
• $ \mathcal{A} $ 에 속하는 $ f $ 에 대해 $ \sup_{\xi} \int_0^\xi f(x,t)dt > 0 $ 이 양의 측도를 갖는 집합에서 성립하고, 비제곱성장이 만족될 경우, $ \lambda $ 가 크고 어떤 $ \varphi \in C $ 에 대해 문제 $ -\Delta u = \lambda f(x,u) + \varphi $ 는 적어도 세 개의 약한 해를 갖는다.
• 결과는 $ H^{-1}(\Omega) $-값을 갖는 변형에까지 확장되어, 성장 조건이 통제된 광범위한 비선형성에 대해 다수의 해 존재를 보였다.