[논문 리뷰] On a Multilocus Wright-Fisher Model with Mutation and a Svirezhev-Shahshahani Gradient-like Selection Dynamics

Erik Aurell, Magnus Ekeberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 03.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 돌연변이와 이 Fourlocus 간 상호작용 선택을 포함하는 다위치 Wright-Fisher 확산 모델을 제안하며, Shahshahani 기울기 유사 구조를 가진 확률적 미분 방정식(SDE) 시스템으로 기술된다. 마코프 체인에서 한계 확산으로의 약한 수렴을 확립하고, Kingman의 house-of-cards 돌연변이 하에서 명시적인 정적 밀도를 도출하여 유전적 네트워크에 대응하는 Wright-Fisher 모델을 구성할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a multilocus diffusion model of a population of $N$ haploid, asexually reproducing individuals. The model includes parent-dependent mutation and interlocus selection, the latter limited to pairwise relationships but among a large number of simultaneous loci. The diffusion is expressed as a system of stochastic differential equations (SDEs) that are coupled in the drift functions through a Shahshahani gradient-like structure for interlocus selection. The system of SDEs is derived from a sequence of Markov chains by weak convergence. We find the explicit stationary (invariant) density by solving the corresponding stationary Fokker-Planck equation under parent-independent mutation, i.e., Kingman's house-of-cards mutation. The density formula enables us to readily construct families of Wright-Fisher models corresponding to networks of loci.

연구 동기 및 목표

• 무성 생식, 이배체 개체군의 다위치 확산 모델을 개발하여 이 Fourlocus 간 쌍별 선택과 부모 독립적 돌연변이를 포함한다.
• 마코프 체인의 수열이 Shahshahani 기울기 유사 구조를 가진 한계 SDE로의 약한 수렴을 확립한다.
• Kingman의 house-of-cards 돌연변이 모델 하에서 정적 Fokker-Planck 방정식을 명시적으로 해결한다.
• 유전자 상호작용 네트워크에 대응하는 Wright-Fisher 모델을 구성하기 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 적합도 잠재력의 Shahshahani 기울기 유사 구조를 가진 드리프트 함수를 갖는 다위치 앨레르그 빈도에 대한 SDE 시스템을 유도한다.
• 문헌 [40]과 [38]의 약한 수렴 기법을 적용하여 마코프 체인의 수렴을 한계 확산으로 보인다.
• Girsanov 정리와 드리프트 변경 기법을 사용하여 마틴갈 문제의 해의 유일성을 증명한다.
• Kingman의 돌연변이 하에서 정적 Fokker-Planck 방정식을 명시적으로 해결하여 닫힌 형태의 불변 밀도를 도출한다.
• 각위치의 다항분포 표본 추출에서의 조건부 독립성을 활용하여 드리프트 및 분산 성분을 분석한다.
• 모멘트 한계와 모집단 크기 $N \to \infty$ 에서의 사분편차 증분의 소멸을 통해 수렴을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이 Fourlocus 간 상호작용이 있는 다위치 Wright-Fisher 모델은 어떤 구조의 드리프트를 가진 확산 과정으로 공식화될 수 있는가?
• RQ2 마코프 체인 수열이 제안된 SDE 시스템으로의 약한 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 부모 독립적 돌연변이 하에서 이러한 모델의 정적 분포를 명시적으로 유도할 수 있는가?
• RQ4 드리프트에 포함된 Shahshahani 기울기 유사 구조는 다위치 시스템에서 적합도와 선택과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 불변 밀도는 이 Fourlocus 간 상호작용을 갖는 유전적 네트워크 모델을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Kingman의 house-of-cards 돌연변이 하에서 정적 Fokker-Planck 방정식을 명시적으로 해결하여 닫힌 형태의 불변 밀도를 도출하였다.
• Girsanov 정리와 드리프트 변경 기법을 통해 한계 확산 과정이 고유하게 특징지어진다.
• 드리프트 함수는 적합도 잠재력의 Shahshahani 기울기 유사 구조를 가지며, 이 Fourlocus 선택의 명시적 모델링을 가능하게 한다.
• 드리프트 및 분산 계수의 조건부 독립성과 모멘트 조건 하에서 마코프 체인 수열의 약한 수렴이 확립된다.
• 모집단 크기 $N \to \infty$ 에서 과정의 사분편차 증분이 소멸하여 한계에서 점프가 없음을 확인한다.
• 불변 밀도를 통해 상호작용하는 다위치의 네트워크에 대응하는 Wright-Fisher 모델을 체계적으로 구성할 수 있다.