[논문 리뷰] On a Multisymplectic Formulation of the Classical BRST Symmetry for First Order Field Theories Part II: Geometric Structures

S. P. Hrabak|arXiv (Cornell University)|1999. 01. 20.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 14인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 다중심플렉틱 기하학과 그레이드 다양체를 사용하여 일阶 고전 장 이론에 대한 공변 해밀토니안 BFV 형식을 개발한다. 그레스만-홀드 번들 동형사상에 의한 기하학적 BRST 대칭을 도입하여 다항식 BRST 대수와 $\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-그레이딩된 관측량의 파울슨-라이프니츠 대수를 도출하며, 단일 기하 방정식으로부터 노터 노이터 전류의 보존을 유도한다.

ABSTRACT

A geometric multisymplectic formulation of the classical BRST symmetry of constrained first-order classical field theories is described. To effect this we introduce graded analogues of the bundles and manifolds of the multisymplectic formulation of first-order field theories. The Lagrange-d'Alembert formalism is also developed in terms of the multisymplectic framework. The result is a covariant Hamiltonian BFV formalism.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건이 있는 일阶 장 이론에 대한 기하학적이고 공변적인 해밀토니안 BRST 대칭의 형식화를 개발하기 위해.
• 다중심플렉틱 프레임워크 내에서 라그랑주-드알엠베르 원리를 일반화하여 라그랑주 승수와 캐논리컬 운동량을 통합하기 위해.
• 그레이드 다각체를 통해 그레이스만-홀드 자유도(구름)를 기하학적으로 표현할 수 있는 구성 다각체와 위상공간의 그레이드 동치를 구축하기 위해.
• 마르스든-우인스타인 다중심플렉틱 축소의 대수적 구조를 그레이드 다중심플렉틱 다각체 위의 기하 객체로 번역하기 위해.
• 다중심플렉틱 라그랑주-드알엠베르 형식과 그레이드 기하 BRST 구조를 통합하여 공변 해밀토니안 BFV 형식을 수립하기 위해.

제안 방법

• 구성 다각체 위의 자유이고 적절한 군 작용에서 유도된 적분 가능 분포를 통해 라그랑주 승수 분포를 도입한다.
• 라그랑주 승수와 그 캐논리컬 운동량을 추가하여 확장된 구성 다각체와 다중위상공간을 정의하고, 이를 다중심플렉틱 다각체로 만든다.
• 단일 기하 방정식을 사용하여 운동 방정식과 공변 노터 전류의 보존을 동시에 도출하는 해밀토니안 운동 방정식을 일반화한다.
• 그레이드 다각체를 사용하여 구성 다각체, 다중위상공간, 공변 위상공간의 그레이드 동치를 구축하여 구름 장을 모델링한다.
• 그레이드 구성 다각체 위에 그레이스만-홀드, 아벨 번들 동형사를 정의하고, 이를 그레이드 위상공간에서 BRST 대칭으로 올린다.
• BRST 연산자를 그레이스만-홀드 (n−1)-형식에 의해 생성되는 파울슨-라이프니츠 미분으로 식별하며, 관측량은 $\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-그레이딩된 파울슨-라이프니츠 대수를 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일阶 장 이론에 대해 다중심플렉틱 기하학과 공변 형식에서 고전 BRST 대칭을 어떻게 기하학적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 승수와 그 쌍대 운동량을 다중심플렉틱 형식에 어떻게 통합하여 변분 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ3 그레이스만-홀드 자유도(구름)가 BRST 형식에서 기하학적으로 어떤 역할을 하는가? 그리고 그레이드 다각체를 통해 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ4 BRST 연산자는 그레이드 다중심플렉틱 다각체 위의 다중심플레크토모피즘으로 어떻게 실현되며, 원래의 게이지 대칭과의 관계는 무엇인가?
• RQ5 유도된 BRST 대수는 비공변 형식과 비교하여 어떤 점에서 다를까? 특히 공간 도함수에 대한 의존성 측면에서.

주요 결과

• 논문은 다중심플렉틱 라그랑주-드알엠베르 형식과 다중심플렉틱 다각체 위의 그레이드 기하 구조를 통합하여 공변 해밀토니안 BFV 형식을 수립한다.
• BRST 대칭은 그레이드 구성 다각체 위의 그레이스만-홀드, 아벨 번들 동형사상으로 실현되며, 이를 그레이드 위상공간에서 다중심플레크토모피즘으로 올린다.
• 그레이드 다중심플렉틱 다각체 위의 관측량은 $\naturals{Z}_2\times\naturals{Z}_2$-그레이딩된 파울슨-라이프니츠 대수를 이루며, BRST 연산자는 그레이스만-홀드 (n−1)-형식에 의해 생성된다.
• 이전 논문의 대수적 미분 복합체는 하위대수와 파울슨-라이프니츠 미분으로 기하학적으로 실현되며, 축소된 관측량은 그의 제로스 히모로지로 주어진다.
• 유도된 BRST 대수는 캐논리컬 변수에 대해 다항식이지만, 비공변 접근법과는 달리 캐논리컬 변수의 공간 도함수를 포함하지 않는다.
• 공변 노터 전류의 보존과 운동 방정식은 확장된 다중심플렉틱 프레임워크 내에서 단일 기하 방정식으로부터 도출된다.