[논문 리뷰] On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture

Nilotpal Sinha|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 07.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소수의 새로운 성질인 모듈로 1에 대한 가짜 등분포를 도입하고, 이를 통해 Cramér의 소수 간격 추측을 일반화한다. $ p_n^{1/n} $의 渐近적 행동을 분석함으로써, 저자에게서 Firoozbakht의 추측이 성립함을 이끌어내며, 이는 Cramér-Granville의 추측이 예측하는 것보다 소수 간격이 더 작음을 시사한다. 더 정밀한 상한선 $ p_{n+1}-p_n < \tilde{O}(\text{const} \cdot \ln^2 p_n) $ 도 도출된다.

ABSTRACT

I present a new property of prime numbers that leads to a generalization of Cramer's conjecture. The study of the gap between consecutive primes is treated as a special case of the gap between consecutive terms of sequences having a certain property called pseudo equidistribution. Both rigorous as well as heuristic arguments are given in support of the generalized Cramer's conjectures.

연구 동기 및 목표

• 모듈로 1에 대한 가짜 등분포라는 새로운 성질을 통해 소수 간격 문제를 재구성하기.
• 이 성질을 갖는 수열에 적용 가능한 일반화된 Cramér의 추측에 대한 이론적 및 히우리스틱적 근거를 제공하기.
• 소수의 $ p_n^{1/n} $의 渐진적 분석에 기반해 Firoozbakht의 추측이 Cramér-Granville의 추측보다 더 정확하다고 주장하기.
• 수열 $ a_n = -\frac{1}{\ln n}\ln\left(\frac{f(n)}{f(n+1)}-1\right) $ 의 행동에서 유도된 Cramér의 추측보다 더 강력한 소수 간격 상한선을 제안하기.
• 가짜 등분포를 갖는 수열에 대한 일반화된 추측을 제안하여, Cramér의 히우리스틱을 더 넓은 범주로 확장하기.

제안 방법

• 수열 $ s_n $ 에 대해 모듈로 1에 대한 가짜 등분포 개념을 도입하며, $ n \to \infty $ 일 때 $ k \leq n $ 에 대해 $ s_k/s_n $ 이 모듈로 1에서 균일하게 분포함을 요구한다.
• $ f(n) = p_n^{1/n} $ 을 정의하고, $ f(n) $ 의 상대적 감쇠 정도를 측정하는 $ a_n $ 을 도입하며, $ a_n \geq 0 $ 이면 Firoozbakht의 추측이 성립한다.
• $ g(n) = n^{1/n} $ 의 渐진적 전개를 사용하여 $ b_n \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ 를 유도하며, 이는 소수에 대해 $ a_n $ 이 기대하는 행동을 모델링한다.
• 첫 $ 10^6 $ 개의 소수와 정수에 대한 통계 분석을 통해 $ \text{mean}(a_n) \approx 1.79 $, $ \text{median}(a_n) \approx 1.79 $ 이며, 이는 이론적 $ b_n $ 의 행동과 매우 유사하다는 것을 보여준다.
• Cramér의 추측을 위한 충분조건을 부등식 $ p_n^{1/n} > \left(1 - \frac{c_0 \ln p_n}{n^2}\right) p_{n+1}^{1/(n+1)} $ 를 통해 유도하며, 이는 간격 상한선을 이끌어낸다.
• 두 개의 추측을 제안한다: 약한 추측은 Cramér-Granville의 상한선을 암시하고, 강한 추측은 $ a_n \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ 이며, 이는 더 날카운 간격 상한선을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈로 1에 대해 가짜 등분포를 갖는 수열에 대해 소수 간격 추측을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 소수에 대해 관측된 $ a_n $ 의 통계적 행동—평균과 중앙값이 약 1.79—은 Firoozbakht의 추측을 지지하는가?
• RQ3 소수 수열에 대해 $ a_n \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ 의 渐진적 행동이 유효한가? 그리고 이는 소수 간격에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 $ n^{1/n} $ 에 대한 유사한 값인 $ b_n $ 에 기반한 히우리스틱적 증거는 Cramér-Granville의 추측보다 더 강력한 $ p_{n+1} - p_n $ 의 상한선을 지지하는가?
• RQ5 Cramér의 모델이 나눗셈 성질을 반영하지 못하는 데서 비롯되는 실패는 가짜 등분포 개념을 도입함으로써 보완될 수 있는가?

주요 결과

• 첫 $ 10^6 $ 개의 소수에 대해 $ a_n $ 의 평균과 중앙값은 각각 약 1.7919 와 1.7948 로, 강력한 통계적 규칙성을 보인다.
• 히우리스틱 분석은 $ a_n \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ 를 시사하며, 이는 $ \frac{f(n)}{f(n+1)} - 1 \sim \frac{1}{n^2} $ 를 의미하고, Firoozbakht의 추측을 지지한다.
• 유도된 상한선 $ p_{n+1} - p_n < \ln^2 p_n - 2\ln p_n + 1 $ 은 Cramér의 추측보다 더 날카롭고, Cramér-Granville의 한계 $ 2e^{-\gamma} \approx 1.05 $ 와도 모순된다.
• 강한 추측 $ \frac{-1}{\ln n}\ln\left(\frac{g(n)}{g(n+1)}-1\right) \sim 2 - \frac{\ln \ln n}{\ln n} $ 는 가짜 등분포를 갖는 수열에 대해 $ s_{n+1} - s_n < \frac{s_n}{n}(\ln s_n - 1) + \frac{c s_n \ln^2 s_n}{n^2} $ 를 암시한다.
• 이론적 분석은 $ f(n) > f(n+1) $ 이고 $ f(n) > \left(1 - \frac{c_0 \ln p_n}{n^2}\right) f(n+1) $ 이면 $ p_{n+1} - p_n < (1 + c_0)(\ln^2 p_n - \ln p_n) + 1 $ 이 성립함을 보이며, 이는 Cramér의 추측을 지지한다.
• 논문은 Cramér-Granville의 추측이 거의 틀렸을 가능성이 높고, Firoozbakht의 추측은 이론적 및 히우리스틱적 증거 모두에 의해 지지된다고 결론을 내린다.