[논문 리뷰] On a predator-prey system with random switching that never converges to its equilibrium

Alexandru Hening, Édouard Strickler|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 03.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 27인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 공통의 평형점을 가진 두 개의 결정론적 Lotka–Volterra 역학 사이를 랜덤하게 전환하는 생태계 모델을 연구한다. Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP) 프레임워크를 사용하여, 평형점이 공유됨에도 불구하고 궤도가 거의 확실히 그 평형점으로 수렴하지 않음을 증명한다. 대신, 피식자와 포식자 밀도는 0과 ∞ 사이를 진동한다. 이는 Takeuchi 등(2006)의 추측을 확인한다. 핵심 결과는 양의 리아푸노프 지수 존재성으로, 이는 전환 시 평형점에서의 지수적 분리함을 의미한다.

ABSTRACT

We study the dynamics of a predator-prey system in a random environment. The dynamics evolves according to a deterministic Lotka-Volterra system for an exponential random time after which it switches to a different deterministic Lotka-Volterra system. This switching procedure is then repeated. The resulting process is a Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP). In the case when the equilibrium points of the two deterministic Lotka--Volterra systems coincide we show that almost surely the trajectory does not converge to the common deterministic equilibrium. Instead, with probability one, the densities of the prey and the predator oscillate between $0$ and $\\infty$. This proves a conjecture of Takeuchi et al (J. Math. Anal. Appl 2006). The proof of the conjecture is a corollary of a result we prove about linear switched systems. Assume $(Y_t, I_t)$ is a PDMP that evolves according to $\\frac{dY_t}{dt}=A_{I_t} Y_t$ where $A_0,A_1$ are $2\ imes2$ matrices and $I_t$ is a Markov chain on $\\{0,1\\}$ with transition rates $k_0,k_1>0$. If the matrices $A_0$ and $A_1$ are not proportional and have purely imaginary eigenvalues, then there exists $\\lambda >0$ such that $\\lim_{t \ o \\infty} \\frac{\\log \\| Y_t \\|}{t} = \\lambda.$

연구 동기 및 목표

• Takeuchi 등(2006)이 제기한 추측을 해결하는 것: 두 개의 Lotka–Volterra 시스템 사이를 랜덤하게 전환하는 포식자-피식자 시스템이 공통의 평형점으로 수렴하지 않는다는 것.
• 두 개의 결정론적 Lotka–Volterra 시스템 간에 전환하는 Piecewise Deterministic Markov Process (PDMP)의 장기적 행동을 분석하는 것.
• 공통의 평형점이 존재함에도 불구하고 수렴하지 않는, 발산적 행동을 보이는 조건을 설정하는 것.
• 선형 전환 시스템의 결과를 평형점 주변 선형화를 통해 비선형 포식자-피식자 모델로 확장하는 것.

제안 방법

• 전이율 k₀, k₁가 양수인 {0,1}에서 정의된 연속시간 마코프 체인에 의해 제어되는 전환을 갖는 PDMP로 시스템을 모델링한다.
• 공통 평형점 (p,q) 주변에서 시스템을 선형화하여, 2×2 행렬 A₀, A₁를 갖는 선형 전환 시스템 dYₜ/dt = A_{Iₜ}Yₜ를 도출한다.
• 선형 PDMP의 리아푸노프 지수 이론을 사용하여, 비비례하지 않으며 추적값이 0인 행렬 조건 하에서 최상위 리아푸노프 지수 Λ > 0임을 증명한다.
• 양의 리아푸노프 지수 존재성이 거의 확실히 평형점으로의 수렴이 불가능하고, 인구 밀도에서 ∞까지의 무한한 진동을 암시함을 증명한다.
• 강한 마코프 성질과 모멘트 추정치(식: Eₓ,ᵢ[η^{τ^ε}] ≤ C(1 + ||x−(p,q)||^{−θ}))를 사용하여 모순에 기반해 수렴을 배제한다.
• 벡터장이 공선적이지 않으며, αᵢ² + βᵢγᵢ < 0를 만족함을 이용해 선형 시스템의 불안정성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 결정론적 Lotka–Volterra 시스템 사이를 랜덤하게 전환하는 포식자-피식자 시스템은 공통의 평형점으로 수렴하는가?
• RQ2 전환 과정이 마코프 과정이고 두 시스템이 공통의 평형점을 공유할 경우, 인구 밀도의 장기적 행동은 어떠한가?
• RQ3 선형화된 시스템의 리아푸노프 지수는 원래의 비선형 PDMP의 수렴 불가능성을 결정할 수 있는가?
• RQ4 전환율과 시스템 매개수에 어떤 조건이 성립할 경우 궤도는 유계이거나 발산하는가?
• RQ5 장기적으로 이 과정은 전이성, 영재귀성, 또는 양의 재귀성을 띄는가?

주요 결과

• PDMP의 궤도는 공통 평형점 (p,q)로 거의 확실히 수렴하지 않는다. 이는 두 시스템이 공통 평형점을 공유함에도 불구하고 그렇다.
• 확률 1로, 피식자 및 포식자 밀도는 limsup xₜ = limsup yₜ = ∞ 와 liminf xₜ = liminf yₜ = 0 를 만족한다.
• 양의 리아푸노프 지수 λ > 0 가 존재하여 limₜ→∞ (log||Yₜ||)/t = λ 를 만족함으로써, 평형점에서의 지수적 분리가 발생함을 나타낸다.
• 수렴 불가능성은 선형화된 시스템이 양의 최상위 리아푸노프 지수를 갖기 때문이다. 이는 A₀와 A₁가 비비례하지 않으며, 형식 (αᵢ βᵢ; γᵢ -αᵢ)을 가지며 αᵢ² + βᵢγᵢ < 0 를 만족할 때 성립한다.
• 증명은 모멘트 추정치와 강한 마코프 성질을 이용하여, 과정이 (p,q) 근처에 계속 머물 수 없음을 보여 수렴을 모순시킨다.
• 이 결과는 Takeuchi 등(2006)의 추측을 확인한다. 즉, 두 시스템이 개별적으로 안정하더라도, 랜덤 전환은 수렴을 방지할 수 있다.