[논문 리뷰] On a Question of Hamkins and Löwe on the modal logic of collapse forcing

Mohammad Golshani, William Mitchell|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 09.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 해민스와 락스가 제기한 질문에 대해, 어떤 강제법 $g$ 로 카디널을 $\omega$ 로 붕괴시킬 때마다 $N \equiv N[g]$ 를 만족하는 모델 $N$ 의 모달 논리에 대해 연구한다. 코어 모델 이론과 라딘 강제법을 사용하여, 승수 카디널에서와 비가속성 카디널 아래의 코끼리 집합에서의 허용된 버전의 함킨스-락스 성질에 대해 등가근형 결과를 확립한다. 주요 기여는 이러한 약화된 성질의 일致성은 윌딩 카디널과 그 위에 있는 비가속성 카디널의 존재에 의해 보장되며, 이는 전체 함킨스-락스 성질에 대해 알려진 최고의 하한을 제공한다는 것이다.

ABSTRACT

Hamkins and Löwe asked whether there can be a model $N$ of set theory with the property that $N\equiv N[g]$ whenever $g$ is a generic collapse of a cardinal of $N$ onto $ω$. We give equiconsistency results for two weaker versions of this property. We also include a proof of Woodin's result that the consistency of the full Hamkins-Löwe property follows from that of a Woodin cardinal with an inaccessible above.

연구 동기 및 목표

• 함킨스-락스 성질의 두 약화된 형태의 일치 강도를 조사하는 것 — 즉, 어떤 카디널을 $\omega$ 로 붕괴시키는 모든 일반적 강제법 $g$ 에 대해 $N \equiv N[g]$ 인지 여부를 묻는 것.
• 비가속성 카디널 $\kappa$ 아래의 승수 카디널에서 함킨스-락스 성질이 큰 카디널 가정에 상대적으로 일致하는지 결정하는 것.
• 비가속성 카디널 $\kappa$ 아래의 코끼리 집합에서 함킨스-락스 성질을 분석하는 것 — 특히 스틸의 코어 모델 $K$ 의 맥락에서.
• 이러한 약화된 성질에 대해 등가근형 결과를 제공하여 전체 함킨스-락스 성질에 대해 알려진 최고의 하한을 설정하는 것.
• 코어 모델의 강제 확장에서 초수집합의 정의 가능성 가능성을 탐색하는 것 — 이는 결과의 강화에 필수적이다.

제안 방법

• 저자들은 함킨스-락스 성질의 두 가지 약화된 형태를 정의한다: 하나는 비가속성 카디널 $\kappa$ 아래의 승수 카디널에서, 다른 하나는 $\kappa$ 아래의 코끼리 집합에서의 카디널에 대해이다.
• 그들은 스틸의 코어 모델 $K$ 와 라딘 강제법을 사용하여, 약화된 성질가 성립하는 모델을 구성한다. 이는 가측 카디널과 $\kappa$ 에 포함된 코끼리 집합 $C \subset \kappa$ 의 존재에 의존한다.
• 이 방법은 $C_1^\kappa$ 에 속하는 카디널 $\lambda$ 에 대해, 측도 $U_\lambda$ 에서 유도된 연장자들로부터 유도된 균일한 필터 가족 $F^\lambda_\alpha$ 를 정의하고, $\alpha > 0$ 일 때 $U_\lambda$-연장자임을 보이는 것을 포함한다.
• 증명은 $K[C]$ 에서 시퀀스 $\langle U_\lambda \mid \lambda \in C_1^\kappa \rangle$ 의 정의 가능성 덕분에, 강제 확장에서 필요한 필터를 구성할 수 있음을 보여준다.
• 저자들은 윌딩 카디널과 그 위에 있는 비가속성 카디널이 존재하면 전체 함킨스-락스 성질을 만족하는 가산 잘순서 모델이 존재한다는 윌딩의 결과를 응용한다.
• 저자들은 $\operatorname{Col}(\omega, <\kappa)$ 를 통한 일반적 확장에서, $d$-도수를 갖는 실수를 포함하는 최소의 순서 모델 $M_d$ 의 행동을 분석하여, $e \geq_T d$ 일 때 $M_d \equiv M_e$ 임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 카디널을 $\omega$ 로 붕괴시키는 일반적 강제법 $g$ 에 대해 $N \equiv N[g]$ 를 만족하는 $ZFC$ 의 모델 $N$ 이 존재하는가?
• RQ2 비가속성 카디널 $\kappa$ 아래의 승수 카디널에서 함킨스-락스 성질의 일치 강도는 무엇인가?
• RQ3 비가속성 카디널 $\kappa$ 아래의 코끼리 집합에서 함킨스-락스 성질의 일치 강도는 무엇인가?
• RQ4 전체 함킨스-락스 성질이 약 커버링 렘마를 만족하는 코어 모델과 함께 일치하는가?
• RQ5 $\kappa$ 와 $C \setminus \lambda$ 를 초월하여, $K[C]^{\operatorname{Col}(\omega,\lambda)}$ 에서 초수집합 $U_\lambda$ 를 매개변수 없이 정의할 수 있는가?

주요 결과

• 비가속성 카디널 $\kappa$ 아래의 승수 카디널에서 함킨스-락스 성질은 윌딩 카디널과 그 위에 있는 비가속성 카디널의 존재와 등가근형이다.
• 비가속성 카디널 $\kappa$ 아래의 코끼리 집합에서 함킨스-락스 성질은 스틸의 코어 모델 $K$ 가 존재한다고 가정할 경우, 윌딩 카디널과 그 위에 있는 비가속성 카디널의 존재와 등가근형이다.
• 윌딩의 결과 재증명: 윌딩 카디널과 그 위에 있는 비가속성 카디널이 존재하면, 전체 함킨스-락스 성질을 만족하는 가산 잘순서 모델이 존재한다.
• $K[C]$ 에서 시퀀스 $\langle U_\lambda \mid \lambda \in C_1^\kappa \rangle$ 는 균일하게 정의 가능하며, 이는 필요한 필터 $F^\lambda_\alpha$ 의 구성에 기여한다.
• $\alpha > 0$ 일 때 필터 $F^\lambda_\alpha$ 는 $U_\lambda$-연장자임을 보였으며, 이는 약화된 성질을 만족하는 모델을 구성하는 데 필수적이다.
• 논문은 전체 함킨스-락스 성질의 일치 강도가 윌딩 카디널과 그 위에 있는 비가속성 카디널에 의해 아래로 제한되며, 현재의 방법론에 비추어 볼 때 이 하한은 날카롭다.