[논문 리뷰] On a Ramsey-Tur\'an variant of the Hajnal-Szemer\'edi theorem

Rajko Nenadov, Yanitsa Pehova|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 09.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 하지날-수메레디 정리의 레이먼드-투란 버전을 확립하여, 그래프 $G$의 최소 차수 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ 이고, 큰 $K_\ell$-자유인 유도 부분그래프가 없을 때 ($\alpha_\ell(G) = o(n)$), $G$는 $K_r$-팩터를 포함함을 보여준다. 이 결과는 $\ell = r-1$일 때 최적이며, 독립수 제약 조건 하에서 삼각형 팩터에 대한 이전 작업을 일반화한다.

ABSTRACT

A seminal result of Hajnal and Szemer\\'{e}di states that if a graph $G$ with $n$ vertices has minimum degree $\\delta(G) \\ge (r-1)n/r$ for some integer $r \\ge 2$, then $G$ contains a $K_r$-factor, assuming $r$ divides $n$. Extremal examples which show optimality of the bound on $\\delta(G)$ are very structured and, in particular, contain large independent sets. In analogy to the Ramsey-Tur\\'an theory, Balogh, Molla, and Sharifzadeh initiated the study of how the absence of such large independent sets influences sufficient minimum degree. We show the following two related results: $\\bullet$ For any $r > \\ell \\ge 2$, if $G$ is a graph satisfying $\\delta(G) \\ge (r - \\ell)n/(r - \\ell + 1) +\\Omega(n)$ and $\\alpha_\\ell(G)=o(n)$, that is, a largest $K_\\ell$-free induced subgraph has at most $o(n)$ vertices, then $G$ contains a $K_r$-factor. This is optimal for $\\ell = r - 1$ and extends a result of Balogh, Molla, and Sharifzadeh who considered the case $r = 3$. $\\bullet$ If a graph $G$ satisfies $\\delta(G) =\\Omega(n)$ and $\\alpha_r^*(G) =o(n)$, that is, every induced $K_r$-free $r$-partite subgraph of $G$ has at least one vertex class of size $o(n)$, then it contains a $K_r$-factor. A similar statement is proven for a general graph $H$.

연구 동기 및 목표

• 크기 $r > \ell \geq 2$인 그래프에서 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 조건을 만족할 때 $K_r$-팩터를 보장하는 최소 차수 조건을 규명하고, 하지날-수메레디 정리를 일반화한다.
• 투란 타입의 결론 대신 $H$-팩터 존재 조건을 도입하여 극단적 그래프 이론과 레이먼드-투란 이론을 연결한다.
• $\ell = r-1$의 경우를 해결하여, $\alpha_{r-1}(G) = o(n)$ 이면 $\delta(G) \geq (1/2 + \varepsilon)n$ 이면 충분함을 보이며, 기존의 극단적 경계와 일치함을 보인다.
• $\ell < r-1$에 대해 독립수 제약 조건을 $K_\ell$-자유성으로 일반화하여, $\ell \leq r/2$에 대해 날카로운 경계를 확립한다.
• $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 조건 하에서 $K_r$-타일링의 임계 조건을 규명하고, 삼각형 팩터 결과를 일반 $r$-클리크로 확장한다.

제안 방법

• 조밀한 그래프에서 $K_r$-팩터를 임bed하기 위해 정규화 방법과 블로우업 보조정리를 사용한다. 이는 제어된 $K_\ell$-자유 부분그래프의 구조를 갖는다.
• 의존적인 랜덤 선택 기법을 적용하여 최소 차수가 높고, 많은 수의 $K_\ell$-복사본을 포함하는 큰 부분집합을 찾는다.
• 최적의 그래프를 구성하기 위해 $K_{\ell+1}$-자유 그래프 $\Gamma_\ell(n)$ 을 사용하며, 이는 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 이고 최대 차수 $o(n)$ 이다.
• 모순과 수학적 귀납법을 통한 증명: $K_r$-팩터가 존재하지 않는다고 가정하고, $K_\ell$-자유성 조건을 이용해 차수의 모순을 이끌어낸다.
• $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 조건 하에서 최소 차수의 임계 조건 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ 을 확립하며, 반복적 임베딩과 밀도 조건을 활용한다.
• 확률적 방법을 사용하여 큰 이웃 집합 내에 $K_\ell$-복사본이 존재함을 보이며, 레이먼드-투란 제약 조건을 통해 $K_r$-타일링 완성 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기 $r > \ell \geq 2$인 그래프 $G$에서 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 이면, $K_r$-팩터를 포함하기 위한 최적의 최소 차수 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 $\ell < r-1$에 대해 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ 이라는 경계가 최적인가?
• RQ3 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 보다 약한 전역 제약 조건, 예를 들어 $r$-분할 부분그래프에서 $K_r$-팩터 조건을 보장할 수 있는가?
• RQ4 $\ell = r-1$일 때의 극단적 구성과 $\ell < r-1$일 때의 구성은 최소 차수와 $K_r$-팩터 방해 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 약화된 차수 조건 $\delta(G) \geq (r-2)n/r + o(n)$ 하에서, 모든 정점 $O(1)$개를 제외한 나머지에 대해 $K_r$-타일링 결과를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 크기 $r > \ell \geq 2$일 때, $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ 이고 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ 이면, $G$는 $K_r$-팩터를 포함하며, $\ell = r-1$일 때 최적임을 보였다.
• $\ell = r-1$일 때, $\delta(G) \geq (1/2 + \varepsilon)n$ 이 최적임을 보이며, 두 개의 크기가 $n/2 \pm 1$인 클리크로 구성된 극단적 구성과 일치한다.
• $\ell \leq r/2$일 때, 극단적 구성은 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r}n$ 이 필수임을 보여주며, 이는 정리에서 제시된 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ 과 비교해 갭이 있음을 시사한다.
• 논문은 $\delta(G) = \Omega(n)$ 이고 $\alpha_r^*(G) = o(n)$ (모든 유도된 $K_r$-자유 $r$-분할 부분그래프에서 한 클래스의 크기가 $o(n)$ 이다) 이면 $K_r$-팩터가 존재함을 증명하며, 임의의 $H$-팩터로 일반화한다.
• 구성 예시를 통해 $\ell \leq r/2$일 때 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r}n$ 이 필수임을 보이며, 이는 극단적 예시의 하한과 일치함을 보여, $\ell < r-1$일 때 상한이 최적은 아님을 시사한다.
• 논문은 $\ell = r-1$일 때 질문 1.1을 해결하여 경계가 최적임을 보였으며, $2 \leq \ell < r-1$에 대해 정확한 임계 조건은 여전히 열려있다.