[논문 리뷰] On a relation between the Szeged index and the Wiener index for bipartite graphs

Lily Chen, Xueliang Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 24.

Graph theory and applications참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 n ≥ 4개의 정점과 m ≥ n개의 간선을 가진 이분 그래프에 대해 하ansen의 추측을 확인한다. 즉, Szeged 지수와 Wiener 지수의 차이는 $ 4n - 8 $ 이상이 된다. 증명은 블록 분해와 간선 기여 분석을 사용하며, 등호는 정확히 $ C_4 $가 $ n-3 $개 정점의 트리와 한 점을 공유할 경우에만 성립한다. 이분 구조 덕분에 결과는 수정된 Szeged 지수로도 확장된다.

ABSTRACT

{\small The Wiener index $W(G)$ of a graph $G$ is the sum of the distances between all pairs of vertices in the graph. The Szeged index $Sz(G)$ of a graph $G$ is defined as $Sz(G)=\sum_{e=uv \in E}n_u(e)n_v(e)$ where $n_u(e)$ and $n_v(e)$ are, respectively, the number of vertices of $G$ lying closer to vertex $u$ than to vertex $v$ and the number of vertices of $G$ lying closer to vertex $v$ than to vertex $u$. Hansen used the computer programm AutoGraphiX and made the following conjecture about the Szeged index and the Wiener index for a bipartite connected graph $G$ with $n \geq 4$ vertices and $m \geq n$ edges: $$ Sz(G)-W(G) \geq 4n-8. $$ Moreover the bound is best possible as shown by the graph composed of a cycle on 4 vertices $C_4$ and a tree $T$ on $n-3$ vertices sharing a single vertex. This paper is to give a confirmative proof to this conjecture.

연구 동기 및 목표

• n ≥ 4개의 정점과 m ≥ n개의 간선을 가진 모든 이분 그래프에서 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $임을 증명하는 것.
• 극값 그래프를 특정하여 경계의 날카로움을 입증하는 것: $ C_4 $가 $ n-3 $개 정점의 트리와 정점 하나를 공유하는 그래프.
• 같은 부등식이 수정된 Szeged 지수 $ Sz^*(G) $에 대해서도 성립함을 보여주며, 이분 그래프에 대해 동일한 부등식이 성립함을 증명하는 것.
• 2-연결 및 일반적인 이분 그래프에서 블록 분해 및 간선 기여 분석에 기반한 구조적 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 그래프를 블록으로 분해하고, 정점 쌍이 $ Sz(G) - W(G) $에 기여하는 방식을 함수 $ \mu_{x,y}(e) $를 통해 분석함. 이 함수는 간선이 Szeged 지수에 기여하는 방식을 추적한다.
• 항등식 $ Sz(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) $ 와 $ W(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} d(x,y) $ 를 사용하여 $ Sz(G) - W(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} \left( \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \right) $ 를 유도한다.
• 모든 정점 쌍 $ x,y $에 대해 $ \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \geq 1 $ 이 성립함을 증명하며, 특정 경우에서는 강한 부등식이 성립함을 보인다. 이를 위해 최단경로와 제2단계 최단경로, 사이클 구조를 활용한다.
• 블록 구조 그래프를 분석하기 위해 같은 블록 내의 쌍, 다른 블록 간의 쌍을 고려하며, 블록 간 경로는 반드시 컷 정점을 통과한다는 사실을 활용한다.
• 각 블록의 기여를 묶어 총합에 하한을 설정하며, 특히 $ n_1 \geq 4 $ 이고 $ i \geq 2 $ 인 경우 $ n_i = 2 $ 인 블록 크기 기반 부등식을 적용한다.
• 이분 그래프에서는 $ n_0(e) = 0 $ 이므로 $ Sz^*(G) = Sz(G) $ 이며, 따라서 두 지수에 대해 동시에 결과를 증명할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n ≥ 4 이고 m ≥ n 인 모든 이분 연결 그래프에서 부등식 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ 이 성립하는가?
• RQ2 추측된 부등식에서 등호가 성립하는 극값 그래프는 무엇인가?
• RQ3 이와 같은 경계가 이분 그래프에서 수정된 Szeged 지수 $ Sz^*(G) $ 에 대해서도 성립하는가?
• RQ4 블록 분해와 경로 다중성 분석을 통해 $ Sz(G) - W(G) $ 의 하한을 구할 수 있는가?
• RQ5 어떤 구조적 조건에서 모든 정점 쌍에 대해 $ \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \geq 1 $ 이 성립하는가?

주요 결과

• n ≥ 4개의 정점과 m ≥ n개의 간선을 가진 모든 이분 연결 그래프에서 추측 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ 이 성립한다.
• 등호는 정확히 $ C_4 $ 사이클과 $ n-3 $개 정점의 트리가 정확히 한 점을 공유할 경우에만 성립한다.
• 등호가 성립하는 구성이 존재하므로 경계는 날카롭고 향상될 수 없다.
• $ k \geq 5 $ 인 경우, $ n_1(n - n_1) \geq 4(n - 4) $ 를 통해 차이 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ 이 확인되며, 등호는 $ n_1 = 4 $ 이고 나머지 모든 블록의 크기가 2일 때 성립한다.
• $ k = 2,3,4 $ 인 경우에도 동일한 극값 그래프 구조에서 $ n = 5,6,7 $ 에서 등호가 성립하며 부등식은 여전히 성립한다.
• 이분 그래프에서는 $ n_0(e) = 0 $ 이므로 $ Sz^*(G) = Sz(G) $ 이며, 따라서 $ Sz^*(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ 이 동일하게 성립함을 확인하여 추측 1.2를 입증한다.