[논문 리뷰] On a relativistic Fokker-Planck equation in kinetic theory

José Antonio Alcántara Felix, Simone Calogero|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 24.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 마찰이 없는 경우 로렌츠 불변성을 유지하는 상대론적 포커-플랑크 방정식을 도입하고 철저히 분석하며, 유한한 신호 전파 속도를 보장함으로써 상대론적 일관성에 핵심적인 영향을 미친다. 플라즈마 및 중력 평균장 모델 모두에서 모든 질량에 대해 정적인 상태의 존재를 입증하여, 비상대론적 대비에서 질량이 작은 경우에만 존재가 알려져 있는 것보다 향상된 결과를 이룬다.

ABSTRACT

A relativistic kinetic Fokker-Planck equation that has been recently proposed in the physical literature is studied. It is shown that, in contrast to other existing relativistic models, the one considered in this paper is invariant under Lorentz transformations in the absence of friction. A similar property (invariance by Galilean transformations in the absence of friction) is verified in the non-relativistic case. In the first part of the paper some fundamental mathematical properties of the relativistic Fokker-Planck equation are established. In particular, it is proved that the model is compatible with the finite propagation speed of particles in relativity. In the second part of the paper, two non-linear relativistic mean-field models are introduced. One is obtained by coupling the relativistic Fokker-Planck equation to the Maxwell equations of electrodynamics, and is therefore of interest in plasma physics. The other mean-field model couples the Fokker-Planck dynamics to a relativistic scalar theory of gravity (the Nordström theory) and is therefore of interest in gravitational physics. In both cases the existence of steady states for all possible prescribed values of the mass is established. In the gravitational case this result is better than for the corresponding non-relativistic model, the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system, for which existence of steady states is known only for small mass.

연구 동기 및 목표

• 마찰이 없는 경우 간단한 비상대론적 경우의 갈릴레이 불변성과 유사하게 로렌츠 불변성을 유지하는 상대론적 포커-플랑크 방정식을 수립하기 위해.
• 모델이 입자 간의 유한한 전파 속도를 존중하여, 고전적 포커-플랑크 방정식과는 상충되는 즉각적인 확산 문제를 피하기 위해.
• 맥스웰 전기역학(플라즈마 물리학)과 노르드스트룀 중력 이론(중력 물리학)에 결합된 비선형 평균장 시스템으로 모델을 확장하기 위해.
• 모든 주어진 질량 값에 대해 상대론적 평균장 모델에서 정적인 해의 존재를 증명하기 위해.
• 비상대론적 바스-포아송-포커-플랑크 시스템이 질량이 작은 경우에만 정적인 해를 보장하는 데서 비롯되는 제약을 상대론적 모델이 극복함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 특수 상대성 이론과 물리적 일관성을 확보하기 위해 상대론적 속도 $\hat{p} = p / \sqrt{1 + |p|^2}$ 와 상대론적 확산 행렬 $D = (I + p \otimes p)/\sqrt{1 + |p|^2}$ 를 포함한 상대론적 포커-플랑크 방정식을 채택한다.
• 상대론적 운동량과 속도의 변환 성질을 이용하여 마찰이 없는 조건에서 방정식의 로렌츠 불변성을 증명한다.
• 프리츠 존의 방법을 일반화한 유일성 증명 기법을 적용하여 유한한 전파 속도를 입증한다. 초기 자료가 컴 pact하게 지지되어 있다면, 해가 상대론적 빛의 원뿔 외부에서는 항상 0이 된다는 것을 보여준다.
• 플라즈마 물리학을 위한 맥스웰 방정식과 결합된 두 가지 비선형 평균장 모델을 도입한다. 하나는 맥스웰 전기역학에 결합된 모델이고, 다른 하나는 노르드스트룀의 스칼라 중력 이론에 결합된 모델이다.
• 가중치가 부여된 $L^2$ 추정과 스펙트럼 이론을 포함한 함수해석 기법을 사용하여 동역학을 제어하고 정적인 해의 존재를 증명한다.
• 오차 항을 제어하기 위해 컷오프 함수 $\phi_k$ 와 얀의 부등식을 활용하여 에너지 추정을 수행하고, 적절한 극한에서 해가 반드시 0이 되어야 한다는 결론을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 상대론적 포커-플랑크 방정식은 마찰이 없는 경우 간단한 비상대론적 경우의 갈릴레이 불변성과 유사하게 로렌츠 불변성을 유지하는가?
• RQ2 모델이 입자의 유한한 전파 속도를 존중하여 고전적 포커-플랑크 방정식의 즉각적 확산 문제를 피할 수 있는가?
• RQ3 맥스웰 방정식에 결합된 상대론적 평균장 모델은 플라즈마 물리학에서 모든 주어진 질량 값에 대해 정적인 해를 갖는가?
• RQ4 노르드스트룀의 스칼라 중력에 결합된 상대론적 평균장 모델은 중력 물리학에서 모든 주어진 질량 값에 대해 정적인 해를 갖는가?
• RQ5 이 상대론적 모델에서 정적인 해의 존재 이론은 비상대론적 바스-포아송-포커-플랑크 시스템과 비교해 볼 때 질량 제약 조건 측면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 마찰이 없는 경우 상대론적 포커-플랑크 방정식은 로렌츠 불변성을 유지함으로써 특수 상대성 이론과의 일관성을 확인한다.
• 해는 유한한 전파 속도를 갖는다: 초기 자료가 위치에서 컴 pact하게 지지되어 있다면, 해는 상대론적 빛의 원뿔 외부에서는 항상 0이다.
• 맥스웰 방정식에 결합된 비선형 상대론적 평균장 모델은 모든 주어진 질량 값에 대해 정적인 해를 갖는다.
• 노르드스트룀의 스칼라 중력에 결합된 비선형 상대론적 평균장 모델은 모든 주어진 질량 값에 대해 정적인 해를 갖는다. 이는 비상대론적 바스-포아송-포커-플랑크 시스템이 질량이 작은 경우에만 존재를 보장하는 것보다 더 강력한 결과이다.
• 정적인 해의 존재 증명은 컷오프 함수와 얀의 부등식을 사용한 새로운 에너지 추정에 기반하며, 최종적으로 적절한 극한에서 해가 반드시 0이 되어야 한다는 것을 보여준다.
• 모델은 고전적 포커-플랑크 방정식의 물리적으로 비현실적인 무한속도 확산을 구성에 의해 피함으로써 상대론적 인과성과의 호환성을 확보한다.