[논문 리뷰] On a remarkable semigroup of homomorphisms with respect to free multiplicative convolution

Serban T. Belinschi, Alexandru Nica|ArXiv.org|2007. 03. 10.

Random Matrices and Applications참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 실수 위의 Borel 확률측도 공간 위에서 자유 가군 병합과 부울 병합을 통해 정의된, $ℚ_t$로 표기되는 새로운 변환의 반군을 제안한다. 이는 병합에 대해 연속적인 반군을 이룬다는 것을 증명하며, 자유 곱셈 병합에 대해 준동형사상으로 작용한다. $ℚ_1$은 부울 Bercovici-Pata 이중사상과 일치하며, 이는 모든 $t \geq 1$ 및 $\mu \in \mathcal{M}$에 대해 $\mathbb{B}_t(\mu)$가 $\boxplus$-무한히 나누어떨어짐을 보여주며, 자유 확률론의 연산과 무한 나누어떨어짐 사이에 새로운 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

Let M denote the space of Borel probability measures on the real line. For every nonnegative t we consider the transformation $\mathbb B_t : M o M$ defined for any given element in M by taking succesively the the (1+t) power with respect to free additive convolution and then the 1/(1+t) power with respect to Boolean convolution of the given element. We show that the family of maps {\mathbb B_t|t\geq 0} is a semigroup with respect to the operation of composition and that, quite surprisingly, every $\mathbb B_t$ is a homomorphism for the operation of free multiplicative convolution. We prove that for t=1 the transformation $\mathbb B_1$ coincides with the canonical bijection $\mathbb B : M o M_{inf-div}$ discovered by Bercovici and Pata in their study of the relations between infinite divisibility in free and in Boolean probability. Here M_{inf-div} stands for the set of probability distributions in M which are infinitely divisible with respect to free additive convolution. As a consequence, we have that $\mathbb B_t(μ)$ is infinitely divisible with respect to free additive convolution for any for every $μ$ in M and every t greater than or equal to one. On the other hand we put into evidence a relation between the transformations $\mathbb B_t$ and the free Brownian motion; indeed, Theorem 4 of the paper gives an interpretation of the transformations $\mathbb B_t$ as a way of re-casting the free Brownian motion, where the resulting process becomes multiplicative with respect to free multiplicative convolution, and always reaches infinite divisibility with respect to free additive convolution by the time t=1.

연구 동기 및 목표

• Borel 확률측도 공간 위에서 자유 확률론의 핵심 연산을 유지하는 연속적인 한 매개변수 변환의 가군 $\mathbb{B}_t$를 구성하는 것.
• 병합에 대해 $\mathbb{B}_t$가 반군을 이룬다는 것과 자유 곱셈 병합 $\boxtimes$에 대해 준동형사상으로 작용한다는 것을 증명하는 것.
• $\mathbb{B}_1$이 부울 Bercovici-Pata 이중사상임을 확인하여 이 변환을 $\boxplus$-무한 나누어떨어짐 이론과 연결하는 것.
• 자유 브라운 운동과의 관계를 탐색하여, $\boxtimes$ 하에서 곱셈적 성질을 띠며 $t=1$에 이르러 $\boxplus$-무한 나누어떨어짐에 도달함을 보여주는 것.

제안 방법

• $\mu \in \mathcal{M}$ 및 $t \geq 0$에 대해 $\mathbb{B}_t(\mu) = \left(\mu^{\boxplus(1+t)}\right)^{\uplus(1/(1+t))}$로 정의하며, 자유 가군 병합 $\boxplus$와 부울 병합 $\uplus$를 사용한다.
• $\mathbb{B}_s \circ \mathbb{B}_t = \mathbb{B}_{s+t}$를 증명하여 병합에 대해 반군 성질을 확립한다.
• $\mu \in \mathcal{M}$, $\nu \in \mathcal{M}_+$에 대해 $\mathbb{B}_t(\mu \boxtimes \nu) = \mathbb{B}_t(\mu) \boxtimes \mathbb{B}_t(\nu)$임을 보여, $\boxtimes$에 대해 준동형사상임을 확인한다.
• $\mathbb{B}_1$이 표준적인 부울 Bercovici-Pata 이중사상 $\mathbb{B}: \mathcal{M} \to \mathcal{M}_{\mathrm{inf-div}}$와 일치함을 보여, 이 변환을 무한 나누어떨어짐과 연결한다.
• $\mathbb{B}_1$이 $\mathcal{M}_{\mathrm{inf-div}}$로의 전단사임과 반군 성질, 준동형사상 성질을 활용하여, 모든 $t \geq 1$ 및 $\mu \in \mathcal{M}$에 대해 $\mathbb{B}_t(\mu)$가 $\boxplus$-무한히 나누어떨어짐임을 증명한다.
• $\mathbb{B}_t$를 자유 브라운 운동의 재매개변수화로 해석하며, $\boxtimes$ 하에서 곱셈적 성질을 가지며, $t=1$에 이르러 $\boxplus$-무한 나누어떨어짐에 도달함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 곱셈 병합 $\boxtimes$에 대해 준동형사상인 $\mathcal{M}$ 위의 연속적인 반군이 존재하는가?
• RQ2 자유 가군 병합과 부울 병합만을 사용하여 그러한 반군을 구성할 수 있는가?
• RQ3 변환 $\mathbb{B}_1$은 부울 Bercovici-Pata 이중사상과 동일한가?
• RQ4 $\mathbb{B}_t(\mu)$가 모든 $t \geq 1$ 및 $\mu \in \mathcal{M}$에 대해 $\boxplus$-무한히 나누어떨어지는가?
• RQ5 $\mathbb{B}_t$는 자유 브라운 운동의 역학과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{B}_t(\mu) = \left(\mu^{\boxplus(1+t)}\right)^{\uplus(1/(1+t))}$는 병합에 대해 연속적인 반군을 이룬다: 모든 $s,t \geq 0$에 대해 $\mathbb{B}_s \circ \mathbb{B}_t = \mathbb{B}_{s+t}$.
• $\mathbb{B}_t$는 자유 곱셈 병합에 대해 준동형사상이다: $\mu \in \mathcal{M}$, $\nu \in \mathcal{M}_+$에 대해 $\mathbb{B}_t(\mu \boxtimes \nu) = \mathbb{B}_t(\mu) \boxtimes \mathbb{B}_t(\nu)$.
• $\mathbb{B}_1$은 부울 Bercovici-Pata 이중사상 $\mathbb{B}$와 일치하며, 이는 $\mathcal{M}$에서 $\boxplus$-무한히 나누어떨어지는 측도의 집합인 $\mathcal{M}_{\mathrm{inf-div}}$로의 전단사 사상이다.
• 모든 $\mu \in \mathcal{M}$ 및 $t \geq 1$에 대해 $\mathbb{B}_t(\mu)$는 $\boxplus$-무한히 나누어떨어지며, 이는 $\mathbb{B}_1$이 $\mathcal{M}_{\mathrm{inf-div}}$로의 전단사이며 반군 성질이 성립하기 때문이다.
• $\mathbb{B}_t$는 곱셈적 성질을 띠며 $\boxtimes$ 하에서 작용하는 자유 브라운 운동의 재매개변수화를 제공하며, $\mathbb{B}_1(\mu)$는 임의의 $\mu \in \mathcal{M}$에 대해 $\boxplus$-무한히 나누어떨어짐에 도달한다.
• 모든 $\mu \in \mathcal{M}$에 대해 $\phi(\mu) < \infty$이면, 모든 $t > 0$에 대해 $\mathbb{B}_t(\nu) = \mu$를 만족하는 $\nu \in \mathcal{M}$가 존재하므로, $t > 0$일 때 $\mathbb{B}_t$는 그 상에 대해 전성사상이 된다.