[논문 리뷰] On a SAV-MAC scheme for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes Phase Field Model

Xiaoli Li, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 21.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 대해 스칼라 보조 변수(SAV) 접근법을, 공간에 대해 MAC(마커 및 셀) 유한차분 방법을 사용하는 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 계면 모델을 위한 새로운 SAV-MAC 유한차분 스킴을 제안한다. 이 스킴은 선형이며, 시간과 공간에서 모두 2차 수준의 정확도를 가지며, 조건부 에너지 안정성과 효율적인 구현이 가능하다. 비선형 잠재력에 대해 균일한 리프시츠 조건을 요구하지 않는, 계면 변수, 화학적 포텐셜, 속도 및 압력에 대해 처음으로 엄밀한 2차 오차 추정을 확립하였다.

ABSTRACT

We construct a numerical scheme based on the scalar auxiliary variable (SAV) approach in time and the MAC discretization in space for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes phase field model, and carry out stability and error analysis. The scheme is linear, second-order, unconditionally energy stable and can be implemented very efficiently. We establish second-order error estimates both in time and space for phase field variable, chemical potential, velocity and pressure in different discrete norms. We also provide numerical experiments to verify our theoretical results and demonstrate the robustness and accuracy of the our scheme.

연구 동기 및 목표

• Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 계면 모델의 이산 수준에서 에너지 법칙을 유지하는 완전 이산 수치 스킴을 개발하기 위해.
• 기존의 볼록 분할 및 안정화된 선형 암시적 스킴의 한계를 극복하기 위해, 이는 비선형 시스템을 유도하거나 2차 에너지 안정성을 확보하지 못함.
• 계산적으로 효율적이며 장시간 시뮬레이션에 적합한 선형, 2차, 조건부 에너지 안정적 스킴을 구축하기 위해.
• 비선형 잠재력에 대해 균일한 리프시츠 조건을 가정하지 않고, Cahn-Hilliard-Stokes 시스템에 적용된 완전 이산 선형 스킴에 대해 시간과 공간에서 처음으로 엄밀한 2차 오차 추정을 제공하기 위해.

제안 방법

• 스킴은 시간에 대해 비선형 시스템을 분리하고 선형, 2차, 조건부 에너지 안정적 이산화를 달성하기 위해 스칼라 보조 변수(SAV) 접근법을 사용한다.
• 공간 이산화에는 격자에 따라 이격된 위치에 배치된 변수를 고려하여, 이격된 격자 위에서 MAC(마커 및 셀) 유한차분 방법을 적용하여 수행한다. 이는 이산적으로 수렴하지 않는 속도와 일관된 압력-속도 결합을 보장한다.
• SAV 접근법은 원래 시스템을 계수들이 일정한 새로운 시스템으로 변환하여, 각 시간 단계에서 분리된 선형 시스템을 통해 효율적으로 해를 구할 수 있도록 한다.
• 연속적인 에너지 소산 구조를 모방하는 이산 에너지 법칙을 구성함으로써, 이산 에너지 안정성을 증명한다.
• 에너지 기법, 이산 소볼레프 부등식, 다양한 이산 노름에서의 안정성 추정을 조합하여 오차 추정을 유도한다.
• 균일한 카르테시안 격자와 일관된 경계 조건 처리, 그리고 이격된 변수 배치를 통해 스킴을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SAV 접근법을 사용하여 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 계면 모델에 대해 선형, 2차, 조건부 에너지 안정적 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 다양한 이산 노름에서 계면 변수, 화학적 포텐셜, 속도 및 압력에 대해 엄밀한 2차 오차 추정을 확립할 수 있는가?
• RQ3 제안된 SAV-MAC 스킴은 조건부 에너지 안정성을 유지하면서도 계산 효율성을 확보하는가?
• RQ4 비선형 잠재력에 대해 균일한 리프시츠 조건을 가정하지 않고도 오차 분석을 수행할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 SAV-MAC 스킴은 적절한 이산 노름에서 계면 변수, 화학적 포텐셜, 속도 및 압력에 대해 시간과 공간에서 모두 2차 정확도를 달성한다.
• 스킴은 조건부 에너지 안정적이며, 시간 단계 제약 없이 연속적인 에너지 소산 법칙을 이산 수준에서 유지한다.
• SAV 재구성 덕분에 스킴은 선형이자 분리 가능하므로, 각 시간 단계에서 선형 시스템을 순차적으로 풀어 효율적으로 해를 구할 수 있다.
• 비선형 잠재력에 대해 균일한 리프시츠 조건을 가정하지 않고, Cahn-Hilliard-Stokes 시스템에 대해 완전 이산 선형 스킴에 대해 처음으로 엄밀한 2차 오차 추정을 확립하였다.
• 수치 실험은 이론적 수렴률을 확인하고, 계면 분리 및 유체 흐름 시뮬레이션에서 스킴의 강건성과 정확성을 입증한다.
• 스킴은 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 모델에 적용 가능하지만, 전체 나비에-스토크스 사례의 오차 추정은 향후 비선형 항에 대해 고차수 업윈드 스킴을 도입함으로써 추가 개발이 필요하다.