[논문 리뷰] On a spectral representation for correlation measures in configuration space analysis

Yu. M. Berezansky, Yu. G. Kondratiev외 2명|ArXiv.org|2006. 08. 14.

Morphological variations and asymmetryMathematics참고 문헌 14인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 유한한 구성(configuration) 위에 ∞star-볼륨 구조를 도입하여 구성 공간 분석에서 상관 측정법의 스펙트럼 표현을 수립한다. 이는 자기수반 연산자들의 가환 가족이 프로젝티브 스펙트럼 정리에 의해 푸리에 변환을 갖는 힐버트 공간 ${\cal H}_\rho$를 구성할 수 있게 하며, 핵심 결과는 이 변환이 ${\cal H}_\rho$에서 $L^2(\Gamma_X, \mu)$로의 유니터리 사상임을 보여준다. 여기서 $\mu$는 스펙트럼 측정법이고 $\rho$는 그 상관 측정법이며, 이는 성장 조건 하에서 상관 측정법으로부터 확률 측정법을 재구성하는 역문제를 해결한다.

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of configuration space analysis by using the projective spectral theorem. For a manifold $X$, let $Γ_X$, resp.\ $Γ_{X,0}$ denote the space of all, resp. finite configurations in $X$. The so-called $K$-transform, introduced by A. Lenard, maps functions on $Γ_{X,0}$ into functions on $Γ_{X}$ and its adjoint $K^*$ maps probability measures on $Γ_X$ into $σ$-finite measures on $Γ_{X,0}$. For a probability measure $μ$ on $Γ_X$, $ρ_μ:=K^*μ$ is called the correlation measure of $μ$. We consider the inverse problem of existence of a probability measure $μ$ whose correlation measure $ρ_μ$ is equal to a given measure $ρ$. We introduce an operation of $\star$-convolution of two functions on $Γ_{X,0}$ and suppose that the measure $ρ$ is $\star$-positive definite, which enables us to introduce the Hilbert space ${\cal H}_ρ$ of functions on $Γ_{X,0}$ with the scalar product $(G^{(1)},G^{(2)})_{{\cal H}_ρ}= \int_{Γ_{X,0}}(G^{(1)}\star\bar G{}^{(2)})(η) ρ(dη)$. Under a condition on the growth of the measure $ρ$ on the $n$-point configuration spaces, we construct the Fourier transform in generalized joint eigenvectors of some special family $A=(A_ϕ)_{ϕ\in\D}$, $\D:=C_0^\infty(X)$, of commuting selfadjoint operators in ${\cal H}_ρ$. We show that this Fourier transform is a unitary between ${\cal H}_ρ$ and the $L^2$-space $L^2(Γ_X,dμ)$, where $μ$ is the spectral measure of $A$. Moreover, this unitary coincides with the $K$-transform, while the measure $ρ$ is the correlation measure of $μ$.

연구 동기 및 목표

• 구성 공간 $\Gamma_X$ 위의 확률 측정법 $\mu$를 주어진 $\sigma$-유한 측정법 $\rho$에 대해 재구성하는 역문제를 해결한다.
• K-변환과 그 수반 $K^*$를 이용하여 상관 측정법의 스펙트럼 이론 프레임워크를 구축한다.
• 측정법 $\rho$에 성장 조건이 만족될 경우, $\Gamma_{X,0}$ 위의 $\star$-볼륨 구조가 $L^2(\Gamma_X, \mu)$로의 유니터리 푸리에 변환을 가능하게 한다.
• $\cal H_\rho$의 가환 자기수반 연산자 가족의 일반화된 공동 고유벡터에서 $K$-변환이 푸리에 변환과 일치함을 증명함으로써, $\mu$가 스펙트럼 측정법임을 규명한다.

제안 방법

• 함수들에 대한 $\Gamma_{X,0}$ 위의 $\star$-볼륨 연산을 $K$-변환과 그 수반을 통해 정의한다.
• $\rho$의 $\star$-정규성에 기반하여 내적 $(G^{(1)}, G^{(2)})_{{\cal H}_\rho} = \int_{\Gamma_{X,0}} (G^{(1)} \star \overline{G}^{(2)})(\eta) \, \rho(d\eta)$를 갖는 힐버트 공간 ${\cal H}_\rho$를 정의한다.
• $\varphi \in C_0^\infty(X)$에 대해 $A_\varphi G(\eta) = (\varphi \star G)(\eta)$로 정의된 ${\cal H}_\rho$ 위의 연산자 가족 $(A_\varphi)_{\varphi \in {\cal D}}$를 구성한다.
• $A_\varphi$가 본질적으로 자기수반임을 증명하고, 그 닫힘 연산자들이 가환 자기수반 연산자 가족을 이룬다.
• 가환 가족 $(A_\varphi^\sim)$에 프로젝티브 스펙트럼 정리를 적용하여 ${\cal H}_\rho$에서 $L^2({\cal D}^\prime, \mu)$로의 유니터리 푸리에 변환을 도출한다.
• 이 푸리에 변환이 $K$-변환과 일치함을 보이고, $\mu$가 스펙트럼 측정법이며 $\rho$가 그 상관 측정법임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구성 공간 $\Gamma_{X,0}$ 위의 $\sigma$-유한 측정법 $\rho$에 대해 어떤 조건이 성립할 경우, $\Gamma_X$ 위의 확률 측정법 $\mu$가 존재하여 $\rho = K^*\mu$를 만족하는가?
• RQ2 $K$-변환은 $\rho$로부터 구성된 힐버트 공간에서 가환 자기수반 연산자 가족의 일반화된 공동 고유벡터에서 푸리에 변환으로 해석될 수 있는가?
• RQ3 $\Gamma_{X,0}$ 위의 $\star$-볼륨 구조가 프로젝티브 스펙트럼 정리를 통해 $\rho$의 스펙트럼 표현을 가능하게 하는가?
• RQ4 $\rho$의 성장 조건 하에서 $\Gamma_X$ 위의 결과 측정법 $\mu$가 전체 구성 공간 $\Gamma_X$ 위에 지지되는가?
• RQ5 $K$-변환은 ${\cal H}_\rho$와 $L^2(\Gamma_X, \mu)$ 사이의 유니터리 연산자로 실현될 수 있는가? 여기서 $\mu$는 연산자 가족의 스펙트럼 측정법이다.

주요 결과

• $K$-변환은 가환 자기수반 연산자 가족 $(A_\varphi^\sim)$의 일반화된 공동 고유벡터에서 푸리에 변환과 유니터리 동치이며, 이는 $K$-변환의 스펙트럼 표현을 확립한다.
• ${\cal H}_\rho$는 $\star$-볼륨과 $\rho$-정규성에 기반하여 구성되어 내적이 잘 정의됨을 보장한다.
• $A_\varphi^\sim$ 가족의 스펙트럼 측정법 $\mu$는 $\mu(\Gamma_X) = 1$를 만족하여, $\mu$가 전체 구성 공간 위에 지지됨을 의미한다.
• $\rho$는 $\mu$의 상관 측정법이다. 즉, $\rho = K^*\mu$를 만족함으로써 역문제가 해결됨을 확인한다.
• 성장 조건 $\rho(\Gamma_\Lambda^{(n)}) \leq (2 + \varepsilon)^n$ 하에서, $\widetilde{\mu}_\Lambda$는 $\Gamma_\Lambda$ 위의 확률 측정법이며 $\mu$는 컴acts 부분집합들 간에 일致함을 보인다.
• $\mu_\Lambda$의 푸리에 변환은 영점 근처의 해석적 영역으로 확장 가능하며, $\mu_\Lambda$의 특성 함수는 $K$-변환에 의해 $\rho$의 생성 함수와 일致한다.