[논문 리뷰] On a Stochastic Representation Theorem for Meyer-measurable Processes and its Applications in Stochastic Optimal Control and Optimal Stopping

Peter Bank, David Beßlich|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무작위 측도에 원소가 있고 임의의 마이어-σ-필드를 允허하는 바탕으로, 메이어-측정 가능한 과정에 대한 확률적 표현 정리를 수립한다. 이는 이전의 작업을 일반화한 것으로, 임의의 $ \Lambda $-측정 가능한 과정 $ X $ 가 모든 $ \Lambda $-정지시간 $ S $ 에서 다음 표현식을 갖는다: $ X_S = \mathbb{E}\left[\int_{[S,\infty)} g_t(\sup_{v\in[S,t]} L_v) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}^\Lambda_S\right] $, 여기서 과정 $ L $ 는 존재성과 최대성( maximality )을 갖는다. 이 결과는 불가역 투자 문제와 분할 정지시간에 대한 최적 정지 문제에 적용된다.

ABSTRACT

In this paper we study a representation problem first considered in a simpler version by Bank and El Karoui [2004]. A key ingredient to this problem is a random measure $μ$ on the time axis which in the present paper is allowed to have atoms. Such atoms turn out to not only pose serious technical challenges in the proof of the representation theorem, but actually have significant meaning in its applications, for instance, in irreversible investment problems. These applications also suggest to study the problem for processes which are measurable with respect to a Meyer-$σ$-field that lies between the predictable and the optional $σ$-field. Technically, our proof amounts to a delicate analysis of optimal stopping problems and the corresponding optimal divided stopping times and we will show in a second application how an optimal stopping problem over divided stopping times can conversely be obtained from the solution of the representation problem.

연구 동기 및 목표

• 뱅크와 엘 카루이(2004)의 확률적 표현 정리를, 원소가 있는 무작위 측도와 임의의 마이어-σ-필드를 允허하도록 일반화하기 위해.
• 측도 $ \mu $ 에 원소가 존재함으로써 발생하는 기술적 과제를 다루며, 이는 표준 최적 정지 추론를 방해하고 분할 정지시간의 사용이 필수적이게 된다.
• 해결 과정 $ L $ 의 최대성( maximality )을 확립하여, 모든 다른 $ \Lambda $-측정 가능한 해들이 기현세트( evanescent set )를 제외한 영역에서 $ L $ 이하임을 보장한다.
• 원소가 있는 $ \mu $ 가 중요한 위험 평가 시점으로 해석될 수 있음을 고려해, 불가역 투자 문제에 응용 가능성을 보여준다.
• 표현 문제를 해결하면 분할 정지시간에 대한 일반화된 최적 정지 문제를 해결할 수 있으며, 스넬 셸드 메서드의 대안을 제공함을 보여준다.

제안 방법

• 증명은 $ \Lambda $-정지시간에 대한 최적 정지 문제의 섬세한 분석에 기반하며, 특히 보조 문제 $ Y_S^\ell = \mathrm{ess\,sup}_{T \in \mathcal{S}^\Lambda([S,\infty))} \mathbb{E}\left[ X_T + \int_{[S,T)} g_t(\ell) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}_S^\Lambda \right] $ 를 다룬다.
• 해결 과정 $ L $ 은 $ L_t = \sup\{ \ell \in \mathbb{R} \mid X_t = Y_t^\ell \} $ 로 구성되며, 이는 표현식과 최적 정지 문제의 가치 함수를 연결한다.
• 측도 $ \mu $ 가 원소를 가질 경우 달라지는 실행 비용의 불연속성을 다루기 위해, 정지시간과 세 개의 서로소 집합으로 이루어진 분할 정지시간( quadruples of a stopping time and three disjoint sets )을 사용한다.
• 구성은 $ \Lambda $-측정 가능한 과정의 성질과 마이어-σ-필드의 구조를 활용하며, 이는 예측 가능 및 옵셔널 $ \sigma $-필드 사이를 조율하는 데 기여한다.
• $ L $ 의 최대성은 임의의 다른 해가 기현세트를 제외한 영역에서 $ L $ 이하임을 보여줌으로써 증명되며, 이는 이전 연구에서 경로 정규성 조건 하에 유일성 보다 더 강력한 결과이다.
• 논문은 $ \Lambda $-정지시간에 대한 최적 정지 문제와 분할 정지시간에 대한 최적 정지 문제 간의 동치성을 확립하며, 다음을 보여준다: $ \sup_{\tau \in \mathcal{S}^{\Lambda,\mathrm{div}}} \mathbb{E}[X_\tau + \int_{[0,\tau)} g_t(\ell) \mu(dt)] = \sup_{T \in \mathcal{S}^\Lambda} \mathbb{E}[X_T + \int_{[0,T)} g_t(\ell) \mu(dt)] $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 측도 $ \mu $ 가 원소를 가질 경우, 실행 비용의 불연속성으로 인해 기존의 확률적 표현 정리를 메이어-측정 가능한 과정으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 측도 $ \mu $ 에 원소가 존재할 경우, 표준 최적 정지 시간이 존재하지 않을 때 최적 정지 문제를 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 측도 $ \mu $ 가 원소를 가질 경우, 분할 정지시간의 역할은 무엇이며, 이는 표현 문제와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 마이어-σ-필드 $ \Lambda $ 의 선택이 표현에서 해결 과정 $ L $ 의 존재성과 최대성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 표현 문제의 해를 이용하여 분할 정지시간에 대한 일반화된 최적 정지 문제를 해결할 수 있으며, 그 반대의 경우도 마찬가지인가?

주요 결과

• 주요 정리는 $ \mu $ 가 원소를 가질 수 있음에도 불구하고, 모든 $ \Lambda $-정지시간 $ S $ 에서 $ X_S = \mathbb{E}\left[\int_{[S,\infty)} g_t(\sup_{v\in[S,t]} L_v) \mu(dt) \,\middle|\, \mathcal{F}_S^\Lambda \right] $ 이 성립하는 $ \Lambda $-측정 가능한 과정 $ L $ 의 존재성을 확립한다.
• 해 $ L $ 는 최대성( maximality )을 갖는다: 임의의 다른 $ \Lambda $-측정 가능한 해는 기현세트를 제외한 영역에서 $ L $ 이하이다. 이는 뱅크와 엘 카루이(2004)의 경로 정규성 조건 하의 유일성보다 더 강력한 결과이다.
• 논문은 $ \Lambda $-정지시간과 분할 정지시간에 대한 최적 정지 문제의 값이 동일함을 보여주며, 두 공식화 간의 동치성을 확립한다.
• 과정 $ L $ 은 $ L_t = \sup\{ \ell \in \mathbb{R} \mid X_t = Y_t^\ell \} $ 로 명시적으로 구성되며, 여기서 $ Y^\ell $ 는 보조 최적 정지 문제의 해이다.
• 불가역 투자 응용에서는 $ \sup_{v\in[0,t]} L_v $ 가 최적 투자 전략을 제공하며, $ \mu $ 의 원소는 중요한 위험 평가 시점에 해당한다.
• 증명 과정에서 $ \tilde{\tau}_\ell = (T_{0,\ell}, \emptyset, \{L_{T_{0,\ell}} \geq \ell\}, \{L_{T_{0,\ell}} < \ell\}) $ 가 최적의 분할 정지시간임을 밝혀내며, $ T_{0,\ell} = T_\ell $ 거의 확실히 성립함을 보여, 표현과 최적 정지 시간 선택 간의 연결 고리를 확립한다.