[논문 리뷰] On a strange invariant bilinear form on the space of automorphic forms

Vladimir Drinfeld, Jonathan Wang|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 16.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $G = SL(2)$에 대해 $G(\mathbb{A})/G(F)$ 위의 $K$-유한성, 미세하게 연속이며 컴팩트하게 지지된 자동형 형식의 공간 위에 정의된 새로운 불변 이중선형 형식 $\mathcal{B}$를 도입하고 연구한다. 이 형식은 표준 $L^2$-내적과 상수항 및 표준 상호연결자(standard intertwiner)를 포함하는 수정항의 차이로 정의된다. 이 형식은 기하 Langlands 프로그램에서 자연스럽게 나타나며, Schieder의 피카르드-레프슈츠 진동자와 연결되어 고전적 자동형 이론과 기하 자동형 이론 사이의 다리 역할을 한다.

ABSTRACT

Let F be a global field and A its ring of adeles. Let G:=SL(2). We study the bilinear form B on the space of K-finite smooth compactly supported functions on G(A )/G(F) defined by the formula B (f,g):=B'(f,g)-(M^{-1}CT (f),CT (g)), where B' is the usual scalar product, CT is the constant term operator, and M is the standard intertwiner. This form is natural from the viewpoint of the geometric Langlands program. To justify this claim, we provide a dictionary between the classical and "geometric" theory of automorphic forms. We also show that the form B is related to S. Schieder's Picard-Lefschetz oscillators.

연구 동기 및 목표

• 글로벌 체 $F$ 위의 $SL(2)$에 대해 $K$-유한성, 미세하게 연속이며 컴팩트하게 지지된 자동형 형식의 공간 위에 새로운 불변 이중선형 형식 $\mathcal{B}$를 정의하고 연구하는 것.
• 이 형식이 기하 Langlands 프로그램과 어떻게 연결되어 있는지 밝히며, 특히 함수-층 사전과 놀라운 대칭성(duality)을 통해 설명하는 것.
• 이중선형 형식 $\mathcal{B}$를 $l$-adic 층과 $D$-모듈의 맥락에서 S. Schieder의 피카르드-레프슈츠 진동자와 연결하는 것.
• 고전적 자동형 형식을 기하적 맥락으로 옮기는 사전을 제공하여, 기하 Langlands 관점에서 $\mathcal{B}$의 자연스러움을 정당화하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(f_1, f_2) - \langle M^{-1} \operatorname{CT}(f_1), \operatorname{CT}(f_2) \rangle$로 정의하며, 여기서 $\mathcal{B}_{\text{naive}}$는 표준적인 $L^2$-내적, $\operatorname{CT}$는 상수항 연산자, $M$은 표준 상호연결자이다.
• $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(Lf_1, f_2)$임을 보이며, 여기서 $L$은 코어스 형식을 고정하고 아이젠슈타인 급수 위에서 단순한 작용을 하는 $\mathcal{A}_c$ 위의 선형 연산자이다.
• $\mathcal{B}$가 $G(\mathbb{A})$의 작용에 대해 불변임을 증명하며, 수체의 경우 적절한 수정을 가미한다.
• 함수-층 사전을 사용하여 $\mathcal{B}$를 기하 맥락에서 복합체 $\Delta_!\omega_{\operatorname{Bun}_G}$와 연결하며, 특히 놀라운 대칭성의 맥락에서 다룬다.
• $\mathcal{B}$를 Schieder의 $\Delta_*\overline{\mathbb{Q}}_l$ 위에서 프로베니우스 사상의 추적에 연결하여, $b(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) = b_{\text{naive}}(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) - \sum_f r(D_f)$임을 보인다.
• 카테고리 이론적으로, 편중된 아이젠슈타인-상수항 수반관계의 쌍대단위 $\epsilon$에 대해 $((\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!})^{-1} \cong \operatorname{Cone}(\epsilon)[2d]$임을 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 $L^2$-내적을 상수항과 상호연결자를 통해 수정함으로써, 자동형 형식 위에 자연스러운 불변 이중선형 형식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 이중선형 형식의 기하 Langlands 해석은 무엇이며, $D$-모듈과 놀라운 대칭성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 이 이중선형 형식은 $\operatorname{Bun}_G \times \operatorname{Bun}_G$ 위의 $l$-adic 층 맥락에서 S. Schieder의 피카르드-레프슈츠 진동자와 어떻게 연결되어 있는가?
• RQ4 형식 $\mathcal{B}$를 실현하는 연산자 $L$은 $D$-모듈 맥락에서 Ps-Id 함수의 역함수의 기하적 유사체로 이해될 수 있는가?
• RQ5 이 형식 $\mathcal{B}$를 기하 Langlands 프레임워크 내에서 유도함수로 실현하는 정확한 카테고리 동치가 존재하는가?

주요 결과

• $\mathcal{B}$는 $G(\mathbb{A})$ 작용에 대해 불변이며, 수체의 경우 수정된 불변 조건을 만족하며, 스칼라 곱에 대해 정규화된 측도의 선택에 관계없이 불변이다.
• $\mathcal{B}$는 $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(Lf_1, f_2)$로 표현되며, 여기서 $L$은 코어스 형식 위에서 항등함수로 작용하고 아이젠슈타인 급수 위에서는 단순한 작용을 한다.
• $\mathcal{B}$의 수정항은 $\Delta_*$-복합체 위에서 프로베니우스 사상의 추적과 대응하며, Schieder는 이를 $b(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) = b_{\text{naive}}(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) - \sum_f r(D_f)$로 계산한다.
• $\mathcal{B}$는 특히 함수-층 사전과 $\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$의 놀라운 대칭성 이론을 통해 기하 Langlands 프로그램과 깊이 연결되어 있다.
• 논문은 카테고리 이론적으로, 편중된 편중된 아이젠슈타인-상수항 수반관계의 쌍대단위 $\epsilon$에 대해 $((\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!})^{-1} \cong \operatorname{Cone}(\epsilon)[2d]$임을 추측한다.
• $\mathcal{B}$의 구성은 기하 Langlands 프로그램 내에서 카테고리 이론적 구조, 특히 향상된 아이젠슈타인 및 상수항 연산자에 대한 고전적 유사체를 제공한다.