[논문 리뷰] On a Tree and a Path with no Geometric Simultaneous Embedding

Patrizio Angelini, Markus Geyer외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 04.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 간선이 서로소일 때조차 모든 트리와 경로가 기하학적 동시에 임베딩을 가지지 않는다는 것을 증명함으로써 그래프 도식 분야에서 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다. 저자들은 깊이 4인 트리와 특정 영역 수준의 비평면 구성이 강제되는 경로를 사용하여 반례를 구성하였으며, 이러한 임베딩이 항상 가능하지 않음을 입증한다. 이 결과는 두 간선이 서로소인 트리가 동시에 임베딩을 가지지 않을 수도 있음을 시사하며, 분야 내 다른 열린 질문에 대한 답을 제공한다.

ABSTRACT

Two graphs $G_1=(V,E_1)$ and $G_2=(V,E_2)$ admit a geometric simultaneous embedding if there exists a set of points P and a bijection M: P -> V that induce planar straight-line embeddings both for $G_1$ and for $G_2$. While it is known that two caterpillars always admit a geometric simultaneous embedding and that two trees not always admit one, the question about a tree and a path is still open and is often regarded as the most prominent open problem in this area. We answer this question in the negative by providing a counterexample. Additionally, since the counterexample uses disjoint edge sets for the two graphs, we also negatively answer another open question, that is, whether it is possible to simultaneously embed two edge-disjoint trees. As a final result, we study the same problem when some constraints on the tree are imposed. Namely, we show that a tree of depth 2 and a path always admit a geometric simultaneous embedding. In fact, such a strong constraint is not so far from closing the gap with the instances not admitting any solution, as the tree used in our counterexample has depth 4.

연구 동기 및 목표

• 모든 트리와 경로가 기하학적 동시에 임베딩을 가지는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 두 간선이 서로소인 트리가 항상 기하학적으로 동시에 임베딩될 수 있는지 여부를 규명하기 위해.
• 동시 임베딩이 가능해지는 구조적 제약 조건을 규명하기 위해.
• 반례를 구성하기 위해 수준 비평면 트리 개념을 영역 수준 비평면 트리로 확장하기 위해.

제안 방법

• 특정한 정점 배치가 필요로 하는 수준 비평면 트리 구조의 복수 개의 복제본으로 이루어진 트리를 구성하기 위해.
• 경로를 사용하여 볼록껍데기와 정점 순서를 통해 기하학적 영역을 정의함으로써 트리의 정점을 비평면 구성으로 강제하기 위해.
• 경로의 구조를 활용하여 트리의 정점에 레벨링을 강제함으로써 적어도 한 개의 부분트리가 평면 조건을 위반하도록 하기 위해.
• 어떤 점 집합 임베딩에서도 적어도 한 부분트리가 간선 교차를 유발할 수밖에 없도록, 강제된 영역 제약 조건에 기반하여 증명하기 위해.
• 각도 영역과 단조적인 x좌표 순서를 사용하여 깊이 2인 트리와 임의의 경로에 대한 기하학적 동시에 임베딩을 위한 구축 알고리즘을 설계하기 위해.
• 1-측면 연결과 볼록껍데기 성질을 활용하여 깊이 2의 경우에 경로 간선이 트리 간선과 교차하지 않도록 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 트리와 경로는 기하학적 동시에 임베딩을 가지는가?
• RQ2 두 간선이 서로소인 트리는 항상 기하학적으로 동시에 임베딩될 수 있는가?
• RQ3 트리의 구조적 제약 조건(예: 깊이)이 경로와 항상 동시에 임베딩 가능하게 하는가?
• RQ4 수준 비평면 트리 개념을 반복적으로 적용하여 영역 수준 비평면 트리로 확장할 수 있는가? 반례를 구성하기 위해.
• RQ5 예를 들어 깊이 3과 같은 임계 깊이가 존재하는가? 그 깊이에서 트리와 경로는 항상 동시에 임베딩이 가능한가?

주요 결과

• 모든 트리와 경로가 기하학적 동시에 임베딩을 가지지 않는다는 반례가 존재함을 입증하여, 이 분야에서 가장 두드러진 열린 문제를 해결한다.
• 반례는 간선이 공유되지 않는 깊이 4인 트리와 경로를 사용하여, 심지어 간선이 서로소인 트리라도 동시에 임베딩이 불가능할 수 있음을 증명한다.
• 저자들은 특정 기하학적 영역에 정점이 위치함으로써 비평면성이 강제되는 영역 수준 비평면 트리의 개념을 도입한다.
• 경로를 사용하여 볼록껍데기 영역을 정의함으로써 트리의 적어도 한 부분트리에 비평면 구성이 강제되도록 한다.
• 깊이 2인 트리와 임의의 경로에 대해 기하학적 동시에 임베딩을 보장하는 구축 알고리즘을 제공한다.
• 깊이 2가 임베딩 가능성을 보장하는 임계 포인트일 수 있음을 시사하며, 이 논문은 깊이 3인 트리가 항상 이러한 임베딩을 가지는지 여부는 열려있다.