[논문 리뷰] On a weighted Trudinger-Moser type inequality on the whole space and related maximizing problem

Van Hoang Nguyen, Futoshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 17.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 함수의 변환과 Adimurthi 및 Yang에 의해 최신으로 확립된 특이 Trudinger-Moser 부등식을 활용하여, 전체 공간 ℝᴺ에서 전체 Sobolev 노름 제약 조건 하에 가중치가 부여된 Trudinger-Moser 부등식을 수립한다. 주요 결과는 임계 지수 αₙ,₆의 날카로움과 α < αₙ,₆일 때 최대화자가 존재한다는 것이며, α가 작을 경우 존재하지 않는다는 것이 입증된다.

ABSTRACT

In this paper, we establish a weighted Trudinger-Moser type inequality with the full Sobolev norm constraint on the whole Euclidean space. Main tool is the singular Trudinger-Moser inequality on the whole space recently established by Adimurthi and Yang, and a transformation of functions. We also discuss the existence and non-existence of maximizers for the associated variational problem.

연구 동기 및 목표

• 전체 공간 ℝᴺ에서 전체 Sobolev 노름 제약 조건 하에 가중치가 부여된 Trudinger-Moser 유형 부등식을 수립하기 위해.
• 관련 변분 문제에 대한 최대화자 존재 및 비존재를 조사하기 위해.
• 가중치 부등식에서 상한의 유한성을 위한 임계 지수 αₙ,₆의 날카로운 값을 규명하기 위해.
• 유한 영역에서의 Trudinger-Moser 부등식에 대한 기존 결과를 ℝᴺ의 비유한 영역로 확장하고, |x|⁻ᵝ를 가중치로 포함하기 위해.

제안 방법

• Adimurthi 및 Yang가 최근에 확립한 ℝᴺ에서의 특이 Trudinger-Moser 부등식을 기본 도구로 활용하였다.
• 함수의 변환을 적용하여 가중치가 부여된 부등식을 기존 형태로 환원함으로써 임계 지수 분석이 가능하도록 하였다.
• 변분 문제에서 함수를 정의하기 위해 절단 지수 함수 Φₙ(t) = eᵗ − ∑ⱼ₌₀ⁿ⁻² tʲ/j! 를 사용하였다.
• 붕괴 행동 분석 및 임계 지수 근처에서 함수의 성장률을 추정하기 위해 Moser 유형의 시험 함수 수열 (uₙ) 을 사용하였다.
• 척도 조정 기법과 점근적 추정을 적용하여 상한 함수의 상하한을 도출하였다.
• Lᴺ 노름과 가중치 |x|⁻ᵞ를 포함한 추정을, 전체 Sobolev 노름 제약 조건을 제어하기 위해 조합하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝᴺ에서 전체 Sobolev 노름 제약 조건 하에 가중치가 부여된 Trudinger-Moser 상한의 유한성을 위한 임계 지수 αₙ,₆는 무엇인가?
• RQ2 ℝᴺ에서 가중치가 부여된 Trudinger-Moser 부등식의 상한이 최대값을 도달하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 가중치 |x|⁻ᵝ의 존재는 변분 문제에 대한 최대화자 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 작은 α에 대해 상한이 유한하지만 도달되지 않을 수 있으며, 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?

주요 결과

• ℝᴺ에서 전체 Sobolev 노름 제약 조건 하에 가중치가 부여된 Trudinger-Moser 부등식은 α ≤ αₙ,₆일 때에만 유한하며, 여기서 αₙ,₆ = ((N−β)/N)αₙ이다.
• α < αₙ,₆일 경우 상한은 도달되며, 이는 변분 문제에 대한 최대화자가 존재한다는 것을 의미한다.
• 매우 작은 α > 0에 대해 상한은 도달되지 않으며, 이는 소실 수열에서 비롯된 비컴actness 때문이 다.
• 부등식의 날카로운 상수는 다음의 점근적 추정을 만족한다: supₐ∈(0,αₙ,₆) (1/(1−(α/αₙ,₆)ᴺ⁻¹))⁽ᴺ⁻ᵇ⁾⁽ᴺ⁻ᵞ⁾ ≤ C ⋅ Ã(N,α,β,γ) (어떤 C > 0에 대해).
• αₙ,₆에 수렴함에 따라 함수의 붕괴 속도는 요소 (1−(α/αₙ,₆)ᴺ⁻¹)⁻⁽ᴺ⁻ᵇ⁾⁽ᴺ⁻ᵞ⁾에 의해 제어되며, 이는 α → αₙ,₆⁻일 때 발산함을 보여준다.
• N ≥ 3이면 α ∈ (0, αₙ,₆) 에서 최대화자가 존재함을 입증하였으며, N = 2이면 α ∈ (α*, αₙ) 에서 존재하며, 여기서 α* > 0은 Gagliardo-Nirenberg 부등식과 관련된 값이다.