[논문 리뷰] On abelian 2-categories and derived 2-functors

Teimuraz Pirashvili|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2환 위의 2모듈러 2-category를 구성하고, 이러한 2-category의 유도된 범주가 삼각형 범주임을 보이며, 고전적 아벨 범주의 유도된 범주와 동치임을 증명함으로써 아벨 2-category에 대한 파생 2함수자기이론을 수립한다. 핵심 결과는 범주적 군의 이차 코hom로지와 그 군 위의 모듈러 2-category 내의 Ext 군 간의 동치를 규명한다.

ABSTRACT

This is an extended version of my earlier articel "Projective and injective objects in symmetric categorical groups. arXiv:1007.0121v1." Several new facts added, including the material on the derived 2-functors and the proof of the Gabriel-Mitchel theorem and the Morita theory for 2-rings.

연구 동기 및 목표

• 아벨 2-category에 대한 파생 2함수자기이론을 개발하여 고전적 호모로지 대수학을 고차 범주로 일반화한다.
• 2환 위의 2모듈러 2-category의 유도된 범주가 삼각형 범주임을 보이고, 고전적 아벨 범주의 유도된 범주와 동치임을 증명한다.
• 범주적 군 위의 모듈러 2-category 내에서의 Ext 함자의 2범주적 동치를 수립하기 위해, 범주적 군의 이차 코호몰로지와 Ext 간의 동치를 규명한다.
• 범주적 군 G의 모듈러 2-category가 충분한 임베딩을 가지며, 2환 위의 모듈러 2-category와 2-equivalence를 가짐을 보인다.
• 아벨 2-category의 기본 범주가 2-equivalence에 대해 불변이 아니라는 점을 명확히 하여, 2범주적 불변량의 필요성을 부각한다.

제안 방법

• 항등수준 0에서 프로젝티브를 가지는 길이 1의 복합체의 2-category $\mathbf{A}^{[1]}_c$를 구성하고, $\mathbf{A}$가 충분한 프로젝티브를 가진다면 이가 아벨임을 보인다.
• 범주적 군 $\mathbb{G}$의 네비를 사용하여, $\mathbb{G}$-모듈러 $\mathbb{S}$ 값의 2코체 복합체 $C^n(\mathbb{G}, \mathbb{S})$를 정의하고, 2코호몰로지적 구조를 형성한다.
• 이 2코체 복합체의 코호몰로지로 이차 코호몰로지 $\mathcal{H}^*(\mathbb{G}, \mathbb{S})$를 정의한다.
• $\mathbb{S}$에서 $\mathbb{G}$에서 $\mathbb{S}$로의 함자들의 대칭 범주적 군 $M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$로의 자연스러운 사상 $i_\mathbb{S}: \mathbb{S} \to M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$를 수립하고, 이것이 충실함을 보인다.
• 범주적 군 $\mathbb{G}$-모듈러의 임베딩 대상이 함자 $M(\mathbb{G}, -)$에 대해 여전히 임베딩 대상임을 증명하여, 임베딩 분해의 사용을 가능하게 한다.
• 항등원에서의 평가를 통한 호모토피 동치를 적용하여 $\mathcal{H}^n(\mathbb{G}, M(\mathbb{G}, \mathbb{S})) = 0$ ($n > 1$)임을 보이고, 이는 Ext 동치에 핵심적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 아벨 범주에서의 파생 함자들을 아벨 2-category로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 범주적 군의 이차 코호몰로지와 그 군 위의 모듈러 2-category 내의 Ext 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $\mathbb{G}$-모듈러의 2-category가 충분한 임베딩을 가지며, 2환 위의 모듈러 2-category와 2-equivalence를 가짐을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ4 2-equivalence는 아벨 2-category의 기본 범주에 어떤 영향을 미치며, 이것이 왜 중요한가?
• RQ5 프로젝티브 분해와 같은 코프로젝티브 대상들은 아벨 범주로부터 아벨 2-category를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 항등수준 0에서 프로젝티브를 가지는 1항복합체의 2-category인 $\mathbf{A}^{[1]}_c$의 유도된 범주는 삼각형 범주이며, 고전적 유도된 범주 $\mathbb{D}(\mathbf{A})$와 동치이다.
• 범주적 군 $\mathbb{G}$의 $\mathbb{S}$-계수 이차 코호몰로지 $\mathcal{H}^*(\mathbb{G}, \mathbb{S})$는 Ext 군 $\mathbf{Ext}^*_{{\mathfrak{S}}{\mathfrak{C}}{\mathfrak{G}}_{\mathbb{G}}}(\Phi, \mathbb{S})$와 동형이다.
• $\mathbb{G}$-모듈러의 2-category $\mathfrak{S}\mathfrak{C}\mathfrak{G}_{\mathbb{G}}$는 충분한 임베딩을 가지며, $\mathbb{Q}$가 자명한 $\mathbb{G}$-모듈러로서 임베딩이면 $M(\mathbb{G}, \mathbb{Q})$도 임베딩이다.
• 자연스러운 사상 $i_\mathbb{S}: \mathbb{S} \to M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$는 충실하며, $\mathbb{S}$가 임베딩이면 $M(\mathbb{G}, \mathbb{S})$의 직접합성분이 된다.
• 2코체 복합체 $C^n(\mathbb{G}, \mathbb{S})$는 2정확한 수열을 유도하고, $n > 1$일 때 코호몰로지 $\mathcal{H}^n(\mathbb{G}, M(\mathbb{G}, \mathbb{S})) = 0$임을 보여, Ext 동치에 필수적이다.
• $\mathfrak{S}\mathfrak{C}\mathfrak{G}_{\mathbb{G}}$는 작은 프로젝티브 생성자를 가지며, 이는 2환 위의 모듈러 2-category와 2-equivalent임을 의미한다.