[논문 리뷰] On Abhyankar's irreducibility criterion for quasi-ordinary polynomials

Janusz Gwoździewicz, Beata Hejmej|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 평면 해석적 곡선에 대한 Abhyankar의 기약성 기준을 고차원의 준일반 다항식으로 일반화한다. 만약 기약인 준일반 다항식 f와 다른 Weierstrass 다항식 g의 결과식(resultant)의 모든 단항식이 충분히 높은 차수를 가지면(즉, (deg g)q_k를 초과하면), g 역시 기약이고 준일반적이며 특성 지수 (h₁,…,h_k)를 가지며, 고전적 결과를 다변수 형식적 거듭제곱급 수열의 환으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $f$ and $g$ be Weierstrass polynomials with coefficients in the ring of formal power series over an algebraically closed field of characteristic zero. Assume that $f$ is irreducible and quasi-ordinary. We show that if degree of $g$ is small enough and all monomials appearing in the resultant of $f$ and $g$ have orders big enough, then $g$ is irreducible and quasi-ordinary, generalizing Abhyankar's irreducibility criterion for plane analytic curves.

연구 동기 및 목표

• 평면 곡선에 대한 Abhyankar의 고전적 기약성 기준을 고차원 준일반 다항식으로 확장한다.
• 기약이자 준일반인 f와의 결과식을 통해 Weierstrass 다항식 g가 기약이자 준일반적임을 판단할 수 있는 조건을 규명한다.
• 기약 Weierstrass 다항식 간의 로그적 접촉(logarithmic contact) 개념을 도입하고 이를 활용하여 주요 기준을 재구성한다.
• Abhyankar-Moh의 기약성 기준이 주요 정리의 특수한 경우로 유도됨을 보인다.

제안 방법

• K[[X]][Y]에서 두 Weierstrass 다항식 f와 g의 결과식 Res(f, g)를 사용하며, f는 기약이자 준일반적이다.
• Res(f, g)의 모든 단항식의 차수에 대한 조건을 적용한다: 어떤 k ≤ s에 대해 (deg g)q_k를 초과해야 한다.
• f의 특성 지수 (h₁,…,h_s)를 도입하고, 래티스 M_i와 관련된 가중치 e_i, q_i의 수열을 구성한다.
• 결과식의 노멀라이즈된 뉴턴 다면체를 통해 로그적 접촉 contA(f, g)를 정의함으로써, 차수 조건의 기하학적 해석을 가능하게 한다.
• 가중 차수와 뉴턴 다면체를 활용하여 K[[X^{1/m}]]에서 근의 구조와 그 차이를 분석한다.
• 주요 결과를 f와 g 사이의 로그 거리 관점에서 재구성하여, contA(f, g) > contA(f, f_k)이면 기약성과 정확한 특성 지수가 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f가 기약이자 준일반적일 때, 결과식 Res(f, g)에 어떤 조건이 성립하면 Weierstrass 다항식 g가 기약이자 준일반적일까?
• RQ2 Res(f, g)의 단항식의 차수는 g의 특성 지수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 Abhyankar의 평면 곡선에 대한 고전적 기약성 기준은 더 일반적인 다변수 기준의 특수한 경우로 유도될 수 있는가?
• RQ4 결과식의 뉴턴 다면체는 g의 기약성과 준일반성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 f와 g 사이의 로그적 접촉은 g의 특성 지수에 대한 정보를 어떻게 포함하는가?

주요 결과

• Res(f, g)의 모든 단항식의 차수가 (deg g)q_k를 초과하면, g는 기약이자 차수 n₁⋯n_k, 특성 지수 (h₁,…,h_k)를 가진 준일반적이다.
• g의 각 근 γ에 대해, f의 근 α가 존재하여 γ − α = ∑_{h > h_k} c_h X^h 를 만족하며, 이는 γ가 뉴턴 차수 기준으로 α에 가까움을 의미한다.
• X^{(deg g)q_k+1}이 Res(f, g)를 나누면, Res(f, g) = u(X) X^{(deg g)q_k+1}이며 u(0) ≠ 0이 되며, 이는 정확한 차수 조건을 나타낸다.
• 이 경우, g의 각 근 γ는 γ − α = c_{h_{k+1}} X^{h_{k+1}} + ∑_{h > h_{k+1}} c_h X^h 를 만족하며, 다음 특성 지수가 명시적으로 나타난다.
• d=2이고 f가 기약이며 i₀(f,X)=n을 만족할 경우, 결과식 차수 조건 i₀(f,g) > n q_s가 성립하면 Abhyankar-Moh 기준이 특수한 경우로 복원된다.
• 기약 준일반 다항식에 대해서는 로그적 접촉에 대한 강한 삼각부등식이 성립하지만, 더 넓은 범위의 Weierstrass 다항식에서는 일반적으로 성립하지 않는다.