[논문 리뷰] On Algebraic condition for null controllability of some coupled degenerate systems

El Mustapha Ait Ben Hassi, Mohamed Fadili외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 08.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상수 계수, 대각화 가능 분산 행렬, 그리고 m개의 제어를 갖는 n-결합 선형 열화 편미분계수 시스템의 영 제어 가능성에 대한 일반화된 칼만 질량 조건을 수립한다. 2n차의 스칼라 열화 방정식에 대한 전역 칼만 추정과 양수적 수식을 유도함으로써, 저자들은 영 제어 가능성은 열화 연산자의 모든 고유값 $\lambda_p$에 대해 칼만 질량 조건 $\text{rank}[(-\lambda_p\mathbf{D}+A)\mid B] = n$ 가 성립함과 동치임을 보여주며, 고전적 제어 이론 결과를 열화되고 결합된 시스템으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we will generalize the Kalman rank condition for the null controllability to $n$-coupled linear degenerate parabolic systems with constant coefficients, diagonalizable diffusion matrix, and $m$-controls. For that we prove a global Carleman estimate of the solution of a scalar $2n$-order equation then we infer from it an observability inequality for the corresponding adjoint system, and thus the null controllability.

연구 동기 및 목표

• 상수 계수를 갖는 n-결합 선형 열화 편미분계수 시스템의 영 제어 가능성에 대한 고전적 칼만 질량 조건을 일반화하기 위해.
• 분산 행렬 $\mathbf{D}$ 가 양의 실수 고유값을 갖는 대각화 가능이고, 결합 행렬 $A$ 가 전위수임을 다루기 위해.
• a(x)가 $a(0) = 0$ 를 만족하고 약하거나 강하게 열화된 분산 계수를 갖는 시스템의 영 제어 가능성 확립을 위해.
• 2n차 스칼라 열화 방정식에 대한 전역 칼만 추정을 증명하여, 이로 인해 연관된 시스템의 관측 불등식을 도출하기 위해.
• 이 열화되고 결합된 설정에서 칼만 질량 조건이 영 제어 가능성에 대해 필수적이고 충분한 조건임을 보여주기 위해.

제안 방법

• y_t, (a(x)y_x)_x, y, y_x 를 포함하는 2n차 스칼라 열화 편미분방정식에 대한 전역 칼만 추정을 증명하기 위해.
• 칼만 추정을 이용해 원래의 결합된 열화 시스템의 수반 시스템에 대한 관측 불등식을 도출하기 위해.
• 영 제어 가능성과 관측 가능성 사이의 이중성 원리를 적용하여 문제를 관측 불등식의 확인으로 단순화하기 위해.
• 스펙트럼 분해와 고유함수 전개를 활용하여 열화 연산자 $\mathcal{M}$ 의 고유값 $\lambda_p$ 에 기반해 수반 시스템을 분석하기 위해.
• 칼만 조건 하에서 $\|\varphi(0,\cdot)\|_{L^2}^2 \leq C \int_{(0,T)\times\omega} |B^*\varphi|^2 \,dxdt$ 를 확립하기 위해.
• 모든 관련 고유값에 대해 칼만 질량 조건이 성립함을 보장하기 위해 $\ker(\mathcal{K}^*) = \{0\}$ 조건을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상수 계수와 m개의 제어를 갖는 n-결합 열화 편미분방정식계의 시스템이 어떤 대수적 조건을 만족할 경우 영 제어 가능성이 성립하는가?
• RQ2 고유값이 대각화 가능한 분산 행렬을 갖는 열화되고 결합된 편미분계수 시스템에 대해 고전적 칼만 질량 조건을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 2n차 열화 스칼라 방정식에 대한 전역 칼만 추정을 이용해 이러한 결합 시스템의 수반 시스템에 대한 관측 추정을 유도할 수 있는가?
• RQ4 열화 연산자 $\mathcal{M}$ 의 고유값이 시스템의 제어 가능성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이러한 종류의 열화되고 완전히 결합된 시스템에서 칼만 질량 조건이 영 제어 가능성에 대해 필수적이고 충분한 조건인가?

주요 결과

• n-결합 열화 시스템의 영 제어 가능성은 열화 연산자 $\mathcal{M}$ 의 모든 고유값 $\lambda_p$ 에 대해 일반화된 칼만 질량 조건 $\text{rank}[(-\lambda_p\mathbf{D}+A)\mid B] = n$ 가 성립함과 동치이다.
• 2n차 스칼라 열화 방정식에 대한 전역 칼만 추정이 확립되었으며, 이는 결합된 시스템에서 관측 불등식을 도출하는 데 필수적이다.
• $\ker(\mathcal{K}^*) = \{0\}$ 라는 가정 하에 관측 불등식 $\|\varphi(0,\cdot)\|_{L^2}^2 \leq C \int_{(0,T)\times\omega} |B^*\varphi|^2 \,dxdt$ 가 증명되었으며, 이 조건은 칼만 조건과 동치이다.
• 이 증명은 y_t, (a(x)y_x)_x, y, y_x 를 포함하는 새로운 칼만 추정에 기반하며, 이는 이전 결과를 고차수 열화 시스템으로 확장한다.
• 이전의 캐스케이드 또는 스칼라 열화 시스템에 대한 결과를 대각화 가능한 분산 행렬을 갖는 완전히 결합된 시스템으로 일반화한다.
• 핵심적인 기술적 혁신은 전체 결합된 구조를 다룰 수 있도록 2n차 칼만 추정을 사용한 것으로, 정밀한 관측 추정을 도출하는 데 기여한다.