[논문 리뷰] On $\alpha$-Firmly Nonexpansive Operators in $r$-Uniformly Convex Spaces

Arian Bërdëllima, Gabriele Steidl|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 12.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 49인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 r-균일 볼록 바나흐 공간에서 α-엄격하게 비확장성 및 쿼اسي α-엄격하게 비확장성 연산자를 도입하며, 힐버트 공간에서의 평균화된 연산자 이론을 일반화한다. 이러한 연산자의 복합과 볼록 조합이 여전히 이 클래스에 속한다는 것을 증명하고, 약한 조건 하에서 고정점으로의 반복 수렴을 보이며, 힐버트 공간을 초월해 Lp 공간과 쿼اسي 군론으로의 수렴 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We introduce the class of $\alpha$-firmly nonexpansive and quasi $\alpha$-firmly nonexpansive operators on $r$-uniformly convex Banach spaces. This extends the existing notion from Hilbert spaces, where $\alpha$-firmly nonexpansive operators coincide with so-called $\alpha$-averaged operators. For our more general setting, we show that $\alpha$-averaged operators form a subset of $\alpha$-firmly nonexpansive operators. We develop some basic calculus rules for (quasi) $\alpha$-firmly nonexpansive operators. In particular, we show that their compositions and convex combinations are again (quasi) $\alpha$-firmly nonexpansive. Moreover, we will see that quasi $\alpha$-firmly nonexpansive operators enjoy the asymptotic regularity property. Then, based on Browder's demiclosedness principle, we prove for $r$-uniformly convex Banach spaces that the weak cluster points of the iterates $x_{n+1}:=Tx_{n}$ belong to the fixed point set $ ext{Fix} T$ whenever the operator $T$ is nonexpansive and quasi $\alpha$-firmly. If additionally the space has a Fr\'echet differentiable norm or satisfies Opial's property then these iterates converge weakly to some element in $ ext{Fix} T$. Further, the projections $P_{ ext{Fix} T}x_n$ converge strongly to this weak limit point. Finally, we give three illustrative examples, where our theory can be applied, namely from infinite dimensional neural networks, semigroup theory, and contractive projections in $L_p$, $p \in (1,\infty) \backslash \{2\}$ spaces on probability measure spaces.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 힐버트 공간에서의 평균화된 연산자 이론을 r-균일 볼록 바나흐 공간으로 확장하고자 한다.
• . 이 넓은 설정에서 α-엄격하게 비확장성 및 쿼اسي α-엄격하게 비확장성 연산자를 정의하고 분석하고자 한다.
• . 이러한 연산자에 대한 고정점 반복의 수렴 성질을 증명하고자 한다.
• . 무한차원 신경망, 군론 이론, 그리고 p ∈ (1, ∞) \ {2}에 대해 Lp 공간에서의 수축성 사영에 응용을 탐색하고자 한다.
• . 프레셰 미분 가능 노름 또는 오피얼의 성질 하에서 반복의 약한 수렴을 확립하고자 한다. 이는 오피얼과 브라우더의 정리들을 일반화한다.

제안 방법

• . 이 논문은 바나흐 공간의 r-균일 볼록성에서 유도된 노름 부등식을 통해 α-엄격하게 비확장성 연산자를 정의한다.
• . 이 설정에서 α-평균화된 연산자는 α-엄격하게 비확장성 연산자의 부분집합임을 증명한다.
• . 저자들은 계산 규칙을 수립한다: (쿼اسي) α-엄격하게 비확장성 연산자의 복합과 볼록 조합은 여전히 이 클래스에 속한다.
• . 브라우더의 반연속성 원리와 오피얼 유형의 추론을 사용하여, 반복의 약한 클러스터 점이 고정점 집합에 속한다는 것을 증명한다.
• . 프레셰 미분 가능 노름 또는 오피얼의 성질을 갖는 공간에서는 반복의 약한 수렴이 고정점으로 성립함을 증명한다.
• . 예시로는 Lp 공간( p ≠ 2)에서의 수축성 사영, 등장사상, 그리고 그들과 관련된 사영이 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . α-엄격하게 비확장성 연산자의 개념을 힐버트 공간에서 r-균일 볼록 바나흐 공간으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 . α-엄격하게 비확장성 연산자는 복합과 볼록 조합에 대해 어떤 닫힘 성질을 갖는가?
• RQ3 . 비확장성, 쿼اسي α-엄격하게 비확장성 연산자의 반복이 어떤 조건에서 고정점으로 약하게 수렴하는가?
• RQ4 . 이 이론은 p ∈ (1, ∞) \ {2}에 대해 Lp 공간에서의 수축성 사영에 어떻게 적용되는가?
• RQ5 . 오피얼의 성질이 없는 공간으로도, 브라우더의 반연속성 원리를 사용하여 수렴 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• . α-엄격하게 비확장성 연산자의 클래스는 r-균일 볼록 바나흐 공간에서 α-평균화된 연산자보다 엄격히 일반화된다.
• . (쿼اسي) α-엄격하게 비확장성 연산자의 복합과 볼록 조합은 여전히 (쿼اسي) α-엄격하게 비확장성이다.
• . 쿼اسي α-엄격하게 비확장성 연산자는 점차적으로 정규적이다.
• . 비확장성, 쿼اسي α-엄격하게 비확장성 연산자의 반복의 약한 클러스터 점은 r-균일 볼록 공간에서 고정점 집합에 속한다.
• . 공간이 프레셰 미분 가능 노름을 갖거나 오피얼의 성질을 만족하면, 반복은 고정점으로 약하게 수렴한다.
• . 르베그 공간(예: p ∈ (1, ∞)에 대해 Lp)에서는 수축성 사영의 복합 또는 볼록 조합의 반복이 고정점 집합의 교집합에 속하는 점으로 약하게 수렴한다.