[논문 리뷰] On amenability of group algebras, II: graded algebras

Laurent Bartholdi|ArXiv.org|2006. 11. 22.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 아메니타블 그룹과 관련된 등급 대수의 성장을 조사하며, 증강 이상 필터링에 대한 군 레인지 $\Bbbk G$의 관련 등급 대수를 중심으로 다룬다. 만약 $G$가 아메니타블이면, 관련 등급 대수는 지수 성장 이하의 성장을 보이며, 이는 등급 대수의 아메니타블성을 함의한다. 이는 버시크의 추측과 드 라 하르프의 질문을 해결한다.

ABSTRACT

This paper continues math.GR/0608302's study of amenability of affine algebras (based on the notion of almost-invariant finite-dimensional subspace), and applies it to graded algebras associated with finitely generated groups. Due to a mistake in Lemma 4.3, the main statements of the present paper should not be considered as proven. The results in Sections 2 and 3 are nevertheless valid.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성된 아메니타블 그룹 $G$에 대해 관련 등급 대수 $\overline{\Bbbk G}$의 지수 성장 이하 성장을 확립하는 것.
• 아메니타블 그룹에 대해 $\operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$의 지수 성장 이하 성장에 대한 버시크의 추측을 해결하는 것.
• 카일리 그래프에서의 사망 지점과 관련된 군 메트릭과 연관된 군 레인지의 등급 변형의 아메니타블성을 조사하는 것.
• 성장과 아메니타블성에 관한 결과를 $\mathbb{Z}$와 $\mathbb{F}_p$를 포함한 임의의 가환환 $\Bbbk$로 확장하는 것.
• 하향 중심 급수의 몫 $\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$의 랭크가 아메니타블 $G$에서 지수 성장 이하로 증가함을 보이는 것.

제안 방법

• 근사적으로 불변하는 유한 랭크 부분공간을 사용하여 애핀 대수 위 모듈러에 대한 아메니타블성을 정의한다.
• 증강 이상 $\varpi$의 거듭제곱에 의한 군 레인지 $\Bbbk G$의 필터링을 사용하여 관련 등급 대수 $\overline{\Bbbk G} = \bigoplus_{n \geq 0} \varpi^n / \varpi^{n+1}$를 구성한다.
• 만약 $G$가 아메니타블이면, 기저 변경과 차원 하위군을 통해 $\mathbb{Z}G$와 $\mathbb{F}_pG$로 환원하여 $\overline{\Bbbk G}$의 지수 성장 이하 성장을 증명한다.
• 부하성과 페케테의 보조정리를 적용하여 $r_n = \operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$의 성장률을 유계로 제한한다.
• $p$-차원 하위군에 대해 $\overline{\mathbb{F}_p G}$가 지수 성장 이하 성장을 보임을 이용하고, 토퍼션 고려를 통해 이 성질을 $\mathbb{Z}G$로 옮긴다.
• 고전적 차원 하위군 정리와 $\delta_n(G)/\gamma_n(G)$가 유한한 2-군임을 보여주는 결과를 활용하여 $\operatorname{rank}(\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G))$를 유계로 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성된 아메니타블 그룹 $G$에 대해 관련 등급 대수 $\overline{\Bbbk G}$는 지수 성장 이하 성장을 보이나?
• RQ2 아메니타블 $G$에 대해 $\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$의 랭크는 지수 성장 이하로 증가하는가?
• RQ3 사망 지점의 존재와 같은 더 약한 조건 하에서, $\Bbbk G$의 등급 변형의 아메니타블성은 $G$의 아메니타블성보다 더 약한 조건으로 확립될 수 있는가?
• RQ4 버시크가 추측한 바와 같이, 아메니타블 그룹에 대해 $\mathbb{Z}$ 위에서 $\varpi^n / \varpi^{n+1}$의 성장은 지수 성장 이하인가?
• RQ5 카일리 그래프에 사망 지점이 있는 비아메니타블 그룹에 대해 $\overline{\Bbbk G}$의 아메니타블성은 성립하는가?

주요 결과

• 임의의 아메니타블이고 유한 생성된 군 $G$에 대해, 관련 등급 대수 $\overline{\Bbbk G}$는 지수 성장 이하 성장을 보이며, 이는 $\limsup \sqrt[n]{r_n} = 1$ 이며 $r_n = \operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$임을 의미한다.
• 버시크의 추측, 즉 아메니타블 $G$에 대해 $\operatorname{rank}(\varpi^n / \varpi^{n+1})$가 $\mathbb{Z}$ 위에서 지수 성장 이하로 증가한다는 것은 확인된다.
• 아메니타블 $G$에 대해 하향 중심 급수 몫 $\gamma_n(G)/\gamma_{n+1}(G)$의 랭크는 지수 성장 이하로 증가함을 $\mathbb{F}_2G$와 $\mathbb{Z}G$로의 환원을 통해 보였다.
• 지수 성장 이하 성장과 제1.3조의 결과를 바탕으로, 등급 대수 $\overline{\Bbbk G}$는 아메니타블이며, $G$가 아메니타블이거나 무한히 많은 사망 지점을 가질 경우 완전히 아메니타블이다.
• 결과는 임의의 가환환 $\Bbbk$로 확장되며, $\operatorname{rank}_{\Bbbk}(\overline{\Bbbk G}/\overline{\varpi}^n)$가 $\mathbb{Z}$-랭크에 의해 유계이므로 지수 성장 이하 성장이 유지된다.
• 역은 성립하지 않는다: $d \geq 3$에 대해 $SL(d,\mathbb{Z})$는 비아메니타블이지만, 그 관련 등급 대수 역시 콘그루언스 하위군의 구조로 인해 지수 성장 이하 성장을 보인다.