[논문 리뷰] On an extremal problem involving a pair of forbidden posets

Casey Tompkins, Yao Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 30.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 메타쿠와 제1저자의 추측을 해결하며, $n$-원소 집합의 부분집합 가족에서 $Y_k$와 $Y_k'$를 모두 유도 부분순서구조로 포함하지 않는 경우의 최대 크기는 부울 레이어에서 $k$개의 가장 큰 수준의 크기의 합인 $\Sigma(n,k)$임을 증명한다. 증명은 순환 치환 방법을 사용하여 원형 배열에서의 간격 수를 제한하며, 이는 유도 $Y_k$- 및 $Y_k'$-자유 가족이 핵심 이중세기 부등식을 만족함을 보여주며, 이는 최대치 경계를 암시한다.

ABSTRACT

Resolving a conjecture of Methuku and the first author we determine the size of the largest family of subsets of an $n$-element set avoiding both $Y_k$ and $Y_k'$ as induced subposets. The result follows as a consequence of the analogous result on a cyclical grid poset.

연구 동기 및 목표

• 부울 레이어에서 유도 부분순서구조로 $Y_k$와 $Y_k'$를 모두 피하는 가족의 최대 크기에 대한 추측을 해결하기 위해.
• 최대 함수 $\operatorname{La}^*(n,\{Y_k,Y_k'\})$가 $2^{[n]}$에서 $k$개의 가장 큰 수준의 합인 $\Sigma(n,k)$와 같음을 증명하기 위해.
• 이전에 부분순서구조 자유 가족에 사용된 순환 치환 방법을 유도 부분순서구조 설정으로 확장하기 위해.
• 순환 배열에서의 체인과 간격 군집을 분석함으로써 $Y_k$와 $Y_k'$를 유도로 피하는 가족의 구조적 특성화를 제공하기 위해.

제안 방법

• 카타나의 순환 치환 방법을 사용하여 부분집합을 원 위의 간격으로 매핑하여 최대치 가족을 분석한다.
• 이중세기 추론을 적용한다: $\mathcal{A}$가 유도 $Y_k,Y_k'$-자유이면, 임의의 치환 $\pi$에 대해 $|\mathcal{I}(n)^\pi \cap \mathcal{A}| \leq kn$이다.
• 크기, 머리, 꼬리 파라미터 기반의 체인 군집을 정의하여 순환 간격 내의 비교 가능한 집합의 수를 통제한다.
• 체인 군집의 기여도를 추적하기 위해 군집에 대한 가중치 함수 $w(E)$를 도입하며, 총 가중치가 음이 아니게 보장한다.
• 군집 간에 방향 그래프를 구성하여 사이클과 경로를 분석하며, 총 가중치가 0 이하임을 보여주어 경계를 유도한다.
• 예를 들어 $1 \leq t(C_i) \leq k-2$, $2 \leq m(C_i) \leq k-1$와 같은 구조적 제약 조건을 사용하여 체인 길이를 제한하고 금지된 구성요소를 방지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $[n]$의 부분집합 가정에서 $Y_k$와 $Y_k'$를 모두 유도 부분순서구조로 포함하지 않는 가족의 최대 크기는 무엇인가?
• RQ2 모든 $k \geq 2$ 및 $n \geq k+1$에 대해 추측 $\operatorname{La}^*(n,\{Y_k,Y_k'\}) = \Sigma(n,k)$는 참인가?
• RQ3 순환 치환 방법은 유도 부분순서구조 문제의 최대치 경계를 증명하기 위해 적응 가능한가?
• RQ4 체인과 간격 군집의 구조적 성질은 유도 $Y_k,Y_k'$-자유 가족의 크기를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• $Y_k$와 $Y_k'$를 유도 부분순서구조로 포함하지 않는 가족의 최대 크기는 정확히 $\Sigma(n,k)$이며, 이는 부울 레이어에서 $k$개의 가장 큰 수준의 크기의 합이다.
• 경계 $\operatorname{La}^*(n,\{Y_k,Y_k'\}) = \Sigma(n,k)$는 날카롭게 맞으며, $2^{[n]}$의 $k$개의 가장 큰 수준의 합집합에 의해 달성된다.
• 임의의 치환 $\pi$에 대해 $\mathcal{A}$와 순환 간격 $\mathcal{I}(n)^\pi$의 교집합 크기는 $kn$ 이하이며, 이는 이중세기 추론의 핵심이다.
• 체인 군집의 가중치 분석은 이중세기 합에 대한 총 기여도가 0 이하임을 보여주며, 이는 최대치 경계를 암시한다.
• 증명은 $\Sigma(n,k)$를 초월하는 크기의 가족에서는 유도 $Y_k$ 또는 $Y_k'$ 구성요소가 존재할 수 없음을 보여주며, 추측을 확인한다.
• 결과는 $k$-체인 자유 가족에 대한 에르되시의 정리와 데 보니스, 카타나, 스완에포엘의 부분순서구조 자유 결과를 유도 설정으로 일반화한다.