[논문 리뷰] On an implementation of the Solovay-Kitaev algorithm

Attila Nagy|ArXiv.org|2006. 06. 08.

advanced mathematical theories참고 문헌 2인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 d > 2인 SU(d)에서 고전적 소로바-키타에프 준비 단계의 지수적 계산 비용을 피하기 위해 다항시간, 공간 효율적인 소로바-키타에프 알고리즘 구현을 제안한다. 이는 준비 단계를 히우리스틱 방법으로 대체하여 제품 길이를 늘리되, 시간과 메모리 소비를 줄인다. 또한 행렬 대각화를 필요로 하지 않는 유니터리의 군 교환자에 대한 새로운 분해 방법을 도입하여, 다항로그 시간 깊이와 제어된 오차 증가를 갖는 임의의 유니터리의 확장 가능한 근사화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In quantum computation we are given a finite set of gates and we have to perform a desired operation as a product of them. The corresponding computational problem is approximating an arbitrary unitary as a product in a topological generating set of $SU(d)$. The problem is known to be solvable in time $polylog(1/ε)$ with product length $polylog(1/ε)$, where the implicit constants depend on the given generators. The existing algorithms solve the problem but they need a very slow and space consuming preparatory stage. This stage runs in time exponential in $d^2$ and requires memory of size exponential in $d^2$. In this paper we present methods which make the implementation of the existing algorithms easier. We present heuristic methods which make a time-length trade-off in the preparatory step. We decrease the running time and the used memory to polynomial in $d$ but the length of the products approximating the desired operations will increase (by a factor which depends on $d$). We also present a simple method which can be used for decomposing a unitary into a product of group commutators for $2

연구 동기 및 목표

• d > 2인 SU(d)에서 고전적 소로바-키타에프 준비 단계의 지수적 계산 비용을 해결한다.
• 초기 커버링 세트 생성의 시간 및 메모리 복잡도를 d에 대해 다항식으로 줄인다.
• 더 긴 제품 길이를 감수하면서도 실행 시간이 타당한 히우리스틱 방법을 통해 근사적 군 커버링을 구성한다.
• 행렬 대각화를 피하는 유니터리의 교환자에 대한 대체 분해 방법을 제공하여 기호 계산 시스템과의 호환성을 향상시킨다.
• 다중 큐비트 양자 회로에 대해 실용적이고 확장 가능한 소로바-키타에프 알고리즘의 구현을 가능하게 한다.

제안 방법

• d에 대해 다항시간 및 다항공간으로 제품 집합 Γ를 생성하는 지수적 시간 방법을 대체하여, 히우리스틱 다항시간 방법을 사용해 초기 커버링을 구성한다.
• 원래 소로바-키타에프 프레임워크의 축소, 확장, 줌 기법을 채택하여 반복적으로 근사치를 정밀화한다.
• d-1)/2 + (j-1)인 대각행렬 G를 사용하여 비대칭 헤르미트 행렬을 유한한 노름을 가진 헤르미트 연산자의 교환자로 분해한다.
• 이 헤르미트 생성자들을 지수화하여 유니터리 분해를 구성하고, 연산자 노름 부등식을 통해 오차 한계를 확보한다.
• 레마 4.1을 적용하여 해밀토니안의 비대각 및 대각 성분을 교환자로 분해하고, d < 256 및 4|d 조건에서 푸리에 또는 하다드 매트릭스로 공역을 통해 대각화를 피한다.
• 삼각 부등식 및 연산자 노름 성질을 사용하여 내재된 교환자와 지수 함수에서의 오차 전파를 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소로바-키타에프 알고리즘의 지수적 준비 단계를 근사 품질을 유지하면서 다항시간 대체로 대체할 수 있는가?
• RQ2 행렬 대각화 없이 유니터리의 군 교환자로의 분해는 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 근사 제품의 길이와 준비 단계의 실행 시간/메모리 비용 간의 상호 교환 관계는 어떠한가?
• RQ4 초기 커버링 품질을 얼마나 향상시킬 수 있는가? 이를 통해 반복적 근사 단계에서의 오차 증가를 줄일 수 있는가?
• RQ5 수치적으로 비용이 많이 드는 연산인 대각화를 피함으로써, 기호 시스템에서 d > 2에 대해 알고리즘을 실용적으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• 준비 단계의 시간과 공간 복잡도가 d에 대해 지수에서 다항식으로 감소되었으며, 이는 제품 길이가 d에 따라 증가하는 데에 따른 비용이다.
• n번째 반복의 오차 한계는 εₙ ≤ c_approx · εₙ₋₁^(3/2)를 만족하며, c_approx = 16(d(d−1)/2)^(1/2) + d + 8(d(d−1)/2)^(3/2)로 주어져 다항로그 수렴을 보장한다.
• 근사 제품의 길이는 lₙ = 8·lₙ₋₁로 증가하여 목표 정밀도 ε에 대해 O(log(1/ε))의 깊이를 갖는다.
• d < 256 및 4|d 조건에서 푸리에 또는 하다드 매트릭스로 공역을 통해 대각화를 피함으로써 행렬 대각화를 회피한다. 이는 GAP와 같은 시스템과의 호환성을 보장한다.
• 알고리즘은 이론적으로 1/ε에 대해 다항로그 스케일링을 유지하며, 히우리스틱 준비 단계로 인해 제품 길이의 상수 계수는 증가한다.
• 이 방법은 확장 가능하다: 초기 커버링의 품질을 조정함으로써 실행 시간과 제품 길이 간의 상호 교환 관계를 조절할 수 있다.