[논문 리뷰] On an Index Theorem of Chang, Weinberger and Yu

Thomas Schick, Mehran Seyedhosseini|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 컴act 스피너 다양체에서 Chang, Weinberger, 그리고 Yu의 상대적 인덱스에 대한 퇴화 정리의 개념적이고 직접적인 증명을 제공한다. 상대적 인덱스가 절대 K-이론적 인덱스를 자연스러운 사상 아래로 옮긴 것임을 보여주며, 기하학적으로 유도된 C∗-완비화 $ C^*_q $ 를 도입함으로써 최대 Roe 대수 구성에서의 기초적 문제를 해결하고, 전체 다양체에서 양의 스칼라 곡률이 존재하면 상대적 인덱스가 퇰아는 것을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we prove a strengthening of a theorem of Chang, Weinberger and Yu on obstructions to the existence of positive scalar curvature metrics on compact manifolds with boundary. They construct a relative index for the Dirac operator, which lives in a relative K-theory group, measuring the difference between the fundamental group of the boundary and of the full manifold. Whenever the Riemannian metric has product structure and positive scalar curvature near the boundary, one can define an absolute index of the Dirac operator taking value in the K-theory of the C*-algebra of fundamental group of the full manifold. This index depends on the metric near the boundary. We prove that the relative index of Chang, Weinberger and Yu is the image of this absolute index under the canonical map of K-theory groups. This has the immediate corollary that positive scalar curvature on the whole manifold implies vanishing of the relative index, giving a conceptual and direct proof of the vanishing theorem of Chang, Weinberger, and Yu. To take the fundamental groups of the manifold and its boundary into account requires working with maximal C* completions of the involved *-algebras. A significant part of this paper is devoted to foundational results regarding these completions.

연구 동기 및 목표

• Chang, Weinberger, 그리고 Yu의 상대적 인덱스에 대한 퇴화 정리의 원래 증명에서 발생하는 기초적 간극을 해결하기 위해.
• 절대적 및 상대적 K-이론적 인덱스를 사용하여 퇴화 정리에 대한 새로운, 직접적이고 개념적인 증명을 제공하기 위해.
• 기하학적으로 유도된 C∗-완비화 $ C^*_q $ 를 개발하여 전이성의 전반적 복원과 코arse 인덱스 이론에서 기하학적 추론의 단순화를 위해.
• Chang, Weinberger, 그리고 Yu가 정의한 상대적 인덱스와 경계 연산자가 가역일 경우의 절대 인덱스 간의 정확한 관계를 설정하기 위해.
• 전체 다양체에 양의 스칼라 곡률 메트릭이 존재할 경우 상대적 인덱스가 항상 퇰아는 것을 보여주기 위해, 절대 인덱스의 자연스러운 이미지로서의 상대적 인덱스를 제시하기 위해.

제안 방법

• 양의 스칼라 곡률 하에서 경계 연산자가 가역일 조건을 이용하여, 경계를 가진 다양체에서 디랙 연산자에 대한 절대 K-이론적 인덱스 $ \mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g) \in K_*(C^*_q(\pi_1(M))) $ 를 정의한다.
• 모든 정규 몫군 $ \Gamma/N $ 를 포함하는 새로운 $ C^*_q $-완비화를 도입하여, 전이성의 전반적 복원과 기하학적 제어를 회복한다.
• 상대 K-homology와 상대적 인덱스 사상에 의해 상대적 인덱스 $ \mu([M,N]) \in K_*(C^*_q(\pi_1(M), \pi_1(N))) $ 를 구성한다.
• 장렬한 K-이론 군의 긴 정렬 시퀀스에서의 자연스러운 사상 $ j $ 에 대해 $ j(\mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g)) = \mu([M,N]) $ 를 증명한다.
• 절단 함수와 디랙 연산자의 함수를 포함하는 명시적 연산자 구성과 노름 수렴 추론을 사용하여 두 인덱스 클래스가 상호로 매핑됨을 보여준다.
• Bott 주기성과 스펙트럼 이sov의성을 이용하여, 스펙트럼 구조 $ M \times S^1 $ 를 통해 짝수 차원에서 홀수 차원으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Chang, Weinberger, 그리고 Yu의 퇴화 정리를 더 직접적이고 개념적으로 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ2 절대 인덱스(경계 연산자가 가역일 경우)와 Chang, Weinberger, 그리고 Yu가 정의한 상대적 인덱스 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 기하학적으로 유도된 C∗-완비화를 구성할 수 있는가? 이는 전이성과 최대 Roe 대수 분석의 단순화를 보존하는가?
• RQ4 새로운 $ C^*_q $-완비화는 노비코프 추측과 관련하여 장벽 이론에 필요한 모든 정보를 유지하는가?
• RQ5 인덱스 이론은 짝수 차원에서 홀수 차원 다양체로 일관되고 계산이 명확한 방식으로 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• Chang, Weinberger, 그리고 Yu의 상대적 인덱스 $ \mu([M,N]) $ 는 자연스러운 사상 $ j $ 를 통해 절대 인덱스 $ \mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g) $ 의 이미지이며, $ j(\mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g)) = \mu([M,N]) $ 를 증명한다.
• $ C^*_q $-완비화는 모든 정규 몫군 $ \Gamma/N $ 를 포함하여 전이성의 전반적 복원을 가능하게 하며, 기하학적 추론에서 기술적 복잡성을 제거한다.
• 절대 인덱스 $ \mathrm{Ind}_{\pi_1(M)}(g) $ 는 경계 근처의 메트릭에 의존하며, 전체 다양체에서 양의 스칼라 곡률이 존재하면 퇰아며, 이는 상대적 인덱스의 퇰아를 암시한다.
• 증명은 절단 연산자와 디랙 연산자의 함수의 노름 수렴에 기반하며, $ \| \tilde{q}^{N}_{D,R}(0)(t) - q_p(0) \| + \| \tilde{q}_{D,R}(\cdot)(t) - q(\cdot)(1) \| \to 0 $ 이 $ t \to 1 $ 이고 $ R \to \infty $ 일 때 성립함을 보여준다.
• 양의 스칼라 곡률 하에서 절대 인덱스가 퇰아면 상대적 인덱스도 퇴화하며, 이는 원래 정리의 직접적이고 개념적인 증명을 제공한다.
• 결과는 스펙트럼 구조 $ M \times S^1 $ 를 통해 K"unneth 및 스펙트럼 이sov의성을 이용하여 짝수 차원 결과를 홀수 차원으로 확장할 수 있다.